214 Chap. 9. Théorème de convergence dominée et applications
La fonction S =
+∞
n=0
f n est continue sur ]0, +∞[. Pour n ∈ N,
+∞
0
| f n (t)| dt =
+∞
0
t
x e
−(n+1)t dt =
+∞
0
u
n + 1
x
e
−u du
n + 1
car u → u/(n +1) est bijective et de classe C
1 de R
∗
+ vers R
∗
+ et f n est une fonction
intégrable sur R
∗
+ , ce qui autorise le changement de variable. On obtient
+∞
0
| f n (t)| dt =
1
(n + 1) x+1 G(x + 1).
Comme x + 1 > 1, la série
1
(n + 1) x+1 converge. Le théorème d’intégration
terme à terme entraîne
+∞
0
t
x
e t − 1
dt =
+∞
n=1
G(x + 1)
n x+1 = G(x + 1)
+∞
n=0
1
(n + 1) x+1 .
Ce qu’il faut savoir
Dans ce genre d’exercices (transformation d’une intégrale en la somme d’une
série), l’idée est de décomposer l’une des fonctions à l’aide d’une série de fonctions. On est souvent amené à utiliser un développement en série entière d’une
fonction. Fréquemment, on utilise la somme de la série géométrique ou celle de
la série exponentielle.
9.2 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
Exercice 9.7
CCP PSI 2006, Mines-Ponts PC 2007, MP 2006
Pour n ∈ N
∗ , on pose I n =
+∞
1
e
−x
n
dx.
1. Quelle est la limite de I n ?
2. À l’aide d’un changement de variable, montrer que I n ∼
n→+∞
1
n
+∞
1
e
−y
y
dy.
1. On appelle f n la fonction définie sur [1, +∞[ par f n (x) = e
−x
n
. On étudie la
convergence simple de cette suite de fonction :
lim
n→+∞
f n (x) = f (x) =
0
si x > 1
1/e si x = 1
La suite de fonctions ( f n ) converge simplement sur [1, +∞[ vers f , fonction
continue par morceaux sur [1, +∞[. De plus, pour tout x 1 et pour tout
n 1, on a x
n
x et 0 f n (x) e
−x . Donc, pour tout x ∈ [1, +∞[ et