9.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 213
tout x a, on a | f n (x)| f n (a). Puisque
f n (a) converge, la série
f n
converge normalement sur [a, +∞[. Chacune des fonctions f n est continue sur
R
∗
+ , donc S est continue sur tout intervalle [a, +∞[ où a > 0. Finalement S est
continue sur R
∗
+ .
3. Soit n ∈ N
∗ . La fonction f n est continue sur [0, +∞[, et pour A > 0, on a
A
0
| f n (t)| dt =
A
0
f n (t) dt =
1
n 2
A
0
1
t 2 +
1
n
dt =
√
n
n 2 Arctan(A
√
n).
On obtient
+∞
0
| f n (t)| dt =
+∞
0
f n (t) dt =
p
2n 3/2 . La série
1
n 3/2 converge.
Le théorème d’intégration terme à terme donne d’une part l’intégrabilité de S sur
R
∗
+ , et d’autre part
+∞
0
S(t) dt =
p
2
+∞
n=1
1
n 3/2 .
Exercice 9.6
Navale PC 2005, TPE MP 2006
1. Montrer que t → t
x−1 e
−t est intégrable sur ]0, +∞[ si et seulement si x > 0.
On note alors G(x) =
+∞
0
t
x−1 e
−t dt.
2. Montrer que, pour t > 0,
1
e t − 1
=
+∞
n=0
e
−(n+1)t .
3. En déduire que pour tout x > 0,
+∞
0
t
x
e t − 1
dt =
+∞
n=1
G(x + 1)
n x+1 .
1. Soit x ∈ R et h x la fonction définie sur ]0, +∞[ par h x (t) = t
x−1 e
−t . La fonction
h x est continue sur R
∗
+ . Par croissances comparées, on a h x (t) = o
t→+∞
1
t 2
, et
h x est intégrable sur [1, +∞[. De plus, h x (t) ∼
t→0
t
x−1 et t → t
x−1 est intégrable
sur ]0, 1] si et seulement si x − 1 > −1. Finalement h x est intégrable sur ]0, +∞[
si et seulement si x > 0.
2. Si t > 0, alors |e
−t
| < 1 et
1
e t − 1
=
1
e t
1
1 − e −t =
1
e t
+∞
n=0
e
−nt =
+∞
n=0
e
−(n+1)t .
3. Pour tout n ∈ N, la fonction f n : t → t
x e
−(n+1)t est continue, positive et intégrable sur [0, +∞[ (même démonstration que dans la première question). La série
f n converge simplement sur ]0, +∞[, et pour tout t > 0,
+∞
n=0
f n (t) =
t
x
e t − 1
.
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