212 Chap. 9. Théorème de convergence dominée et applications
9.1.2 Permutation série-intégrale
Ce qu’il faut savoir
Théorème d’intégration terme à terme
Soit ( f n ) n∈N une suite de fonctions définies et continues par morceaux sur un
intervalle I . Si
(i) la série de fonctions
f n converge simplement sur I ,
(ii) la fonction S =
+∞
n=0
f n est continue par morceaux sur I ,
(iii) pour tout n ∈ N, f n est intégrable sur I ,
(iv) la série numérique
I
| f n (t)| dt converge,
alors S est intégrable sur I et
I
S(t) dt =
+∞
n=0
I
f n (t) dt.
Remarque
− La dernière hypothèse du théorème précédent est fondamentale (voir exercice 9.9, page 216)
− La convergence normale (et/ou uniforme - PSI) de la série de fonctions
f n
n’est ni nécessaire, ni suffisante pour permuter somme et intégrale sur un intervalle non borné.
Exercice 9.5
Pour n ∈ N
∗ , on définit la fonction f n sur R
∗
+ par f n (x) =
1
n + n 2 x 2
1. Montrer que
f n converge simplement sur R
∗
+ . On note S =
+∞
n=1
f n .
2. Montrer que S est continue sur R
∗
+ .
3. Montrer que S est intégrable sur R
∗
+ et
+∞
0
S(t) dt =
p
2
+∞
n=1
1
n 3/2 .
1. Soit x > 0. On a f n (x) ∼
n→+∞
1
n 2 x 2 et la série numérique
f n (x) converge. La
série de fonctions
f n converge simplement sur R
∗
+ .
2. Pour tout n ∈ N
∗ , la fonction f n est décroissante et positive sur R
∗
+ . Cela donne
f n ∞,R ∗
+
=
1
n
, et
f n ne converge pas normalement sur R
∗
+ . Soit a > 0. Pour