9.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 211
On obtient I n =
1
n
+∞
0
f
u
n
e
−u du. La fonction g n : u → f (
u
n
)e
−u est définie et continue sur R
+ . La suite de fonctions (g n ) n∈N ∗ converge simplement sur
R
+ , vers la fonction continue g : u → f (0)e
−u , et pour tout n ∈ N
∗ et tout
u 0, |g n (u)| Me
−u . Le théorème de convergence dominée entraîne
lim
n→+∞
+∞
0
g n (u) du = f (0)
+∞
0
e
−u du = f (0).
Puisque f (0) = 0, on obtient I n ∼
n→+∞
f (0)
n
.
Exercice 9.4
(PSI)
Soit n ∈ N. On définit la fonction f n sur R
+ par f n (t) =
t
n e
−t
n!
.
1. Étudier la convergence simple puis uniforme de la suite de fonctions ( f n ). On
note f = lim
n→+∞
f n .
2. Comparer lim
n→+∞
+∞
0
f n (t) dt et
+∞
0
f (t) dt.
3. Que peut-on en conclure ?
1. Pour tout t ∈ R
+ , la suite numérique
t
n
n!
converge vers 0. La suite de fontions ( f n ) converge simplement sur R
+ vers la fonction nulle. La fonction f n
est de classe C
1 sur R
+ et, pour tout t ∈ R
+ , on a f
n (t) = (n − t)t
n−1 e
−t
n!
.
L’étude des variations de f n donne, pour tout n ∈ N, un maximum pour f n valant
f n (n) =
n
n e
−n
n!
. La fonction f n est positive, si bien que
f n ∞,R + =
n
n e
−n
n!
∼
n→+∞
1
√
2pn
(formule de Stirling).
La suite de fonctions ( f n ) converge uniformément sur R
+ .
2. Pour tout n ∈ N, on a
+∞
0
f n (t) dt =
G(n + 1)
n!
= 1 (voir exercice 10.9
page 244), donc lim
n→+∞
+∞
0
f n (t) dt = 1. En revanche
+∞
0
f (t) dt = 0.
3. La convergence uniforme sur R
+ n’est pas suffisante pour permuter limite et intégrale.
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