210 Chap. 9. Théorème de convergence dominée et applications
Soit w définie par w(x) =
2
x 2 si x > 1 et w(x) =
2
√
x
si x ∈ ]0, 1]. La fonction w est
continue sur R
∗
+ , intégrable sur ]0, 1] et [1, +∞[ donc sur R
∗
+ , et pour tout n 2 et
x > 0, | f n (x)| w(x). On peut appliquer le théorème de convergence dominée et
lim
n→+∞
I n =
+∞
0
f (x) dx =
1
0
dx
√
x
=
2
√
x
1
0
= 2.
Ce qu’il faut savoir
Quelques pistes pour trouver une bonne fonction qui domine
La réponse n’est pas toujours simple mais on peut donner quelques idées générales.
• On commence par détecter les facteurs indépendants de n, on les factorise et on
ne cherche surtout pas à les majorer pour simplifier l’écriture (par exemple en
majorant
1
1 + t 2 par
1
t 2 on crée un problème d’intégrabilité au voisinage de 0).
• Si la limite simple fait apparaître plusieurs intervalles, on peut chercher une
domination sur chacun des intervalles (l’écriture d’une fonction dominante peut
faire apparaître plusieurs intervalles).
• Il reste à majorer les termes qui dépendent de n. Plusieurs méthodes sont possibles : majoration directe (par exemple | sin nu| par |nu| ou par 1), minoration
d’un terme positif par 0 (au dénominateur), étude de la suite ou d’une fonction
associée (en remplaçant n par une variable t dans R), encadrement de
1
n
entre
1 et 0...
Exercice 9.3
CCP PSI et MP 2007
Soit f ∈ C
0 (R
+ , R) bornée et telle que f (0) = 0. Déterminer un équivalent en
l’infini de I n =
+∞
0
f (t)e
−nt dt.
Pour n ∈ N
∗ , on considère la fonction f n définie sur R
+ par f n (t) = f (t)e
−nt . On
note M un majorant de | f | sur R
+ . Pour tout n ∈ N
∗ et t ∈ R
+ , | f (t)e
−nt
| Me
−t .
Comme la fonction t → e
−t est continue et intégrable sur R
+ , pour tout n ∈ N
∗ , la
fonction f n est continue et intégrable sur R
+ . Cela permet de justifier l’existence de
I n pour tout n ∈ N
∗ . De plus ( f n ) converge simplement vers la fonction nulle sur R
∗
+ .
L’application du théorème de convergence dominée donne seulement lim
n→+∞
I n = 0.
Pour déterminer un équivalent de I n , on effectue le changement de variable linéaire
u → u/n dans I n , ce qui est possible puisque la fonction f n est intégrable sur R
+ .
Soit w définie par w(x) =
2
x 2 si x > 1 et w(x) =
2
√
x
si x ∈ ]0, 1]. La fonction w est
continue sur R
∗
+ , intégrable sur ]0, 1] et [1, +∞[ donc sur R
∗
+ , et pour tout n 2 et
x > 0, | f n (x)| w(x). On peut appliquer le théorème de convergence dominée et
lim
n→+∞
I n =
+∞
0
f (x) dx =
1
0
dx
√
x
=
2
√
x
1
0
= 2.
Ce qu’il faut savoir
Quelques pistes pour trouver une bonne fonction qui domine
La réponse n’est pas toujours simple mais on peut donner quelques idées générales.
• On commence par détecter les facteurs indépendants de n, on les factorise et on
ne cherche surtout pas à les majorer pour simplifier l’écriture (par exemple en
majorant
1
1 + t 2 par
1
t 2 on crée un problème d’intégrabilité au voisinage de 0).
• Si la limite simple fait apparaître plusieurs intervalles, on peut chercher une
domination sur chacun des intervalles (l’écriture d’une fonction dominante peut
faire apparaître plusieurs intervalles).
• Il reste à majorer les termes qui dépendent de n. Plusieurs méthodes sont possibles : majoration directe (par exemple | sin nu| par |nu| ou par 1), minoration
d’un terme positif par 0 (au dénominateur), étude de la suite ou d’une fonction
associée (en remplaçant n par une variable t dans R), encadrement de
1
n
entre
1 et 0...
Exercice 9.3
CCP PSI et MP 2007
Soit f ∈ C
0 (R
+ , R) bornée et telle que f (0) = 0. Déterminer un équivalent en
l’infini de I n =
+∞
0
f (t)e
−nt dt.
Pour n ∈ N
∗ , on considère la fonction f n définie sur R
+ par f n (t) = f (t)e
−nt . On
note M un majorant de | f | sur R
+ . Pour tout n ∈ N
∗ et t ∈ R
+ , | f (t)e
−nt
| Me
−t .
Comme la fonction t → e
−t est continue et intégrable sur R
+ , pour tout n ∈ N
∗ , la
fonction f n est continue et intégrable sur R
+ . Cela permet de justifier l’existence de
I n pour tout n ∈ N
∗ . De plus ( f n ) converge simplement vers la fonction nulle sur R
∗
+ .
L’application du théorème de convergence dominée donne seulement lim
n→+∞
I n = 0.
Pour déterminer un équivalent de I n , on effectue le changement de variable linéaire
u → u/n dans I n , ce qui est possible puisque la fonction f n est intégrable sur R
+ .