9.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 209
1. La fonction f n est continue sur [0, +∞[ et pour tout x 0, | f n (x)|
1
1 + x 2 .
Puisque w : x →
1
1 + x 2 est intégrable sur [0, +∞[, f n l’est également.
2. Les hypothèses de continuité et de domination ont été obtenues dans la question précédente. Il reste à étudier la convergence simple de la suite de fonctions. Si x > 0, | f n (x)|
1
nx
et lim
n→+∞
f n (x) = 0. Si x = 0, f n (0) = 0
pour tout n ∈ N
∗ . Donc ( f n ) converge simplement vers la fonction nulle sur
[0, +∞[, fonction continue sur R
+ . Le théorème de convergence dominée donne
lim
n→+∞
+∞
0
f n (x) dx = 0.
Exercice 9.2
CCP PSI 2005
On définit pour n 2, I n =
+∞
0
1 + t
n
√
t + t 2n dt. Prouver l’existence de I n et
déterminer la limite de la suite (I n ).
Soit n un entier supérieur à 2 et f n définie sur R
∗
+ par f n (t) =
1 + t
n
√
t + t 2n . La fonction
f n est continue sur ]0, +∞[.
On étudie la limite simple de cette suite de fonctions :
• si t ∈ ]0, 1[ alors lim
n→+∞
f n (t) =
1
√
t
,
• si t = 1 alors f n (1) = 1 pour tout n 2 et lim
n→+∞
f n (t) = 1,
• si t > 1 alors f n (t) ∼
n→+∞
t
n
t 2n et lim
n→+∞
f n (t) = 0.
Donc f n converge simplement sur R
∗
+ vers la fonction f définie par
f (x) =
⎧
⎨
⎩
1
√
x
si x ∈ ]0, 1]
0
si x > 1
La fonction f est continue par morceaux.
Il reste à dominer cette suite de fonctions. Il est clair que la majoration de | f n (x)| va
être différente suivant que x ∈ ]0, 1] ou x > 1. Soit n 2 :
• si x > 1, | f n (x)|
2x
n
x 2n =
2
x n
2
x 2 .
• si x ∈ ]0, 1], | f n (x)|
2
√
x
.
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