9 Théorème de convergence
dominée et applications
9.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
9.1.1 Théorème de convergence dominée
Ce qu’il faut savoir
Soit ( f n ) n∈N une suite de fonctions continues par morceaux sur un intervalle I de
R. Si :
(i ) ( f n ) converge simplement vers une fonction f sur I ,
(ii) la fonction f est continue par morceaux sur I ,
(iii) il existe w continue par morceaux et intégrable sur I telle que
∀x ∈ I , ∀n ∈ N, | f n (x)| w(x),
alors f est intégrable sur I et lim
n→+∞
I
f n (x) dx =
I
f (x) dx.
Remarque
• Bien entendu, on peut utiliser une suite de fonctions définie seulement à partir
d’un certain rang n 0 ∈ N.
• L’hypothèse de domination est fondamentale et ne peut pas être remplacée,
par exemple par une hypothèse de convergence uniforme (voir exercice 9.4,
page 211).
• L’hypothèse de domination entraîne que chaque fonction f n est intégrable
sur I .
Exercice 9.1
CCP PSI 2005
Pour n ∈ N
∗ , soit la fonction f n définie sur R
+ par f n (x) =
sin(nx)
1 + nx + x 2 .
1. Montrer que pour tout n ∈ N
∗ , la fonction f n est intégrable sur R
+ .
2. Déterminer la limite de
+∞
0
f n (x) dx
n1
.