8.3 Exercices d’approfondissement 207
Exercice 8.19
Polytechnique-ESPCI PC 2005
1. Montrer que les fonctions t → ln sin t et t → ln cos t sont intégrables sur
]0, p/2[. On appelle alors I et J la valeur de ces intégrales. Montrer que
I = J .
2. Trouver une relation entre I + J et I .
3. En déduire la valeur de I et de J .
1. Soit f : t → ln sin t. Cette fonction est continue sur ]0, p/2] car t → sin t est
continue sur ]0, p/2] à valeurs dans ]0, 1] et ln est continue sur ]0, 1]. En revanche
lim
t→0
f (t) = −∞. Or pour t proche de 0, on a sin t = t + o(t) = t(1 + o(1))
et f (t) = ln t + ln(1 + o(1)) = ln t + o(1) donc f (t) ∼
t→0
ln t. Or t → ln t est
continue et intégrable sur ]0, p/2]. Donc par comparaison, f est intégrable sur
]0, p/2]. Puisque cos u = sin(p/2−u), on va appliquer le changement de variable
t = p/2 − u dans la première intégrale. La fonction w : u → p/2 − u est une
bijection de classe C
1 de [0, p/2[ sur ]0, p/2] et f est intégrable sur ]0, p/2]
donc u → f (w(u)).w
(u) = − ln(cos u) est intégrable sur [0, p/2[ avec
p/2
0
ln sin t dt = −
0
p/2
ln(cos u) du
c’est-à-dire I = J .
2. Bien entendu I + J = 2I mais ce n’est pas cette relation qui est attendue.
I + J =
p/2
0
ln(sin t cos t) dt =
p/2
0
ln(
sin 2t
2
) dt
=
p/2
0
ln(sin 2t) dt −
p/2
0
ln 2 dt.
Puisque u → u/2 est une bijection C
1 de ]0, p] sur ]0, p/2], on peut appliquer le
changement t = u/2 dans la première intégrale, ce qui donne
p/2
0
ln(sin 2t) dt =
1
2
p
0
ln(sin u) du =
1
2
I +
p
p/2
ln(sin u) du
.
On peut appliquer le changement u = p − t dans l’intégrale restante et
p
p/2
ln(sin u) du = I . Finalement
I + J =
1
2
(2I ) −
p
2
ln 2 = I −
p
2
ln 2
3. Tout cela donne I = J = −
p
2
ln 2.
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