8.2 Exercices d’entraînement 201
3. Puisque t →
sin 3t
t 2 est intégrable sur [x, +∞[, on peut effectuer le changement
de variable t = u/3 (l’application u → u/3 est une bijection C
1 de [3x, +∞[ sur
[x, +∞[, ce qui donne
I (x) =
3
4
+∞
x
sin t
t 2 dt −
1
4
+∞
3x
9 sin u
3u 2 du =
3
4
3x
x
sin t
t 2 dt.
4.
3x
x
sin t
t 2 dt −
3x
x
1
t
dt =
3x
x
sin t − t
t 2 . On définit h(t) =
sin t − t
t 2
sur ]0, +∞[,
prolongée par continuité en 0 par 0 (sin t − t ∼
t→0
−
t
3
6
). On note alors H un primitive de h sur [0, +∞[ (elle existe puisque h est continue sur [0, +∞[). On écrit
3x
x
sin t − t
t 2
= H (3x) − H (x) qui tend vers H (0) − H (0) = 0 lorsque x tend
vers 0. Finalement I (x) −
3
4
3x
x
1
t
dt = I (x) −
3
4
ln 3 tend vers 0 lorsque x
tend vers 0 et ainsi lim
x→0
I (x) =
3
4
ln 3. Puisque g est intégrable sur ]0, +∞[,
J = lim
x→0
I (x) =
3
4
ln 3.
5. Pour x > 0, on peut écrire I (x) =
+∞
1
g(t) dt −
x
1
g(t) dt ce qui donne le fait
que I est une fonction de classe C
1 sur R
∗
+ avec I
= −g. De plus I (x) admet
une limite finie lorsque x tend vers 0 (question précédente), et pour tout x > 0,
I
(x) = −
sin
3 x
x 2 donc lim
x→0
I
(x) = 0 (voir première question). Donc I peut se
prolonger en une fonction de classe C
1 sur R + avec I (0) = J et I
(0) = 0.
Exercice 8.16
Soit f : [1, +∞[→ R continue et telle que
+∞
1
f (t) dt converge. Montrer que
+∞
1
f (t)
t
dt converge.
La difficulté vient du fait que f n’est pas forcément de signe constant, si bien que la
seule majoration intéressante que l’on pourrait obtenir est
f (t)
t
| f (t)| si t 1,
mais cela n’aboutit pas car on ne sait rien sur l’intégrabilité de f sur [1, +∞[. On
revient alors à la définition de la convergence. Appelons F la primitive de f sur
[1, +∞[ qui s’annule en 1 : ∀x ∈ [1, +∞[, on a F(x) =
x
1
f (t) dt. La convergence
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit