202 Chap. 8. Intégration sur un intervalle quelconque
de
+∞
1
f (t) dt signifie, par définition, que F admet une limite finie en +∞. Pour
tout x 1, par intégration par parties sur [1, x] (les fonctions sont bien de classe C
1
sur ce segment),
x
1
f (t)
t
dt =
F(x)
x
−
F(1)
1
+
x
1
F(t)
t 2 dt
De plus F est continue sur [1, +∞[ et admet une limite finie en +∞ donc F est bornée
sur [1, +∞[. Notons M un majorant de F sur [1, +∞[. Ainsi lim
x→+∞
F(x)
x
= 0. Pour
tout t ∈ [1, +∞[, on a
F(t)
t 2
M
t 2 . Donc t →
F(t)
t 2 est intégrable sur [1, +∞[,
l’intégrale
+∞
1
F(t)
t 2 dt est donc convergente et finalement,
x
1
f (t)
t
dt admet une
limite finie lorsque x tend vers +∞ ce qui signifie bien que
+∞
1
f (t)
t
dt converge.
On obtient, de plus,
+∞
1
f (t)
t
dt =
+∞
1
F(t)
t 2 .
Ce qu’il faut savoir
Le fait d’avoir la convergence de
+∞
1
f (t) dt n’apporte aucune information sur
le comportement de f au voisinage de l’infini (limite, équivalent ou domination).
Dans ces exercices théoriques, on ne pourra jamais se diriger vers des méthodes
exploitant le comportement de f . Il est alors fréquent de passer par une primitive
puisque l’hypothèse permet d’avoir l’existence de la limite en +∞ pour cette
primitive.
Exercice 8.17
D’après plusieurs concours
1. Soit f continue, décroissante et intégrable sur ]0, 1]. Montrer que
lim
n→+∞
1
n
n
k=1
f
k
n
=
1
0
f (t) dt.
2. En déduire que
n
√
n! ∼
n→+∞
n
e
.
3. Déterminer lim
n→+∞
n−1
k=1
1
√
k(n − k)
.
de
+∞
1
f (t) dt signifie, par définition, que F admet une limite finie en +∞. Pour
tout x 1, par intégration par parties sur [1, x] (les fonctions sont bien de classe C
1
sur ce segment),
x
1
f (t)
t
dt =
F(x)
x
−
F(1)
1
+
x
1
F(t)
t 2 dt
De plus F est continue sur [1, +∞[ et admet une limite finie en +∞ donc F est bornée
sur [1, +∞[. Notons M un majorant de F sur [1, +∞[. Ainsi lim
x→+∞
F(x)
x
= 0. Pour
tout t ∈ [1, +∞[, on a
F(t)
t 2
M
t 2 . Donc t →
F(t)
t 2 est intégrable sur [1, +∞[,
l’intégrale
+∞
1
F(t)
t 2 dt est donc convergente et finalement,
x
1
f (t)
t
dt admet une
limite finie lorsque x tend vers +∞ ce qui signifie bien que
+∞
1
f (t)
t
dt converge.
On obtient, de plus,
+∞
1
f (t)
t
dt =
+∞
1
F(t)
t 2 .
Ce qu’il faut savoir
Le fait d’avoir la convergence de
+∞
1
f (t) dt n’apporte aucune information sur
le comportement de f au voisinage de l’infini (limite, équivalent ou domination).
Dans ces exercices théoriques, on ne pourra jamais se diriger vers des méthodes
exploitant le comportement de f . Il est alors fréquent de passer par une primitive
puisque l’hypothèse permet d’avoir l’existence de la limite en +∞ pour cette
primitive.
Exercice 8.17
D’après plusieurs concours
1. Soit f continue, décroissante et intégrable sur ]0, 1]. Montrer que
lim
n→+∞
1
n
n
k=1
f
k
n
=
1
0
f (t) dt.
2. En déduire que
n
√
n! ∼
n→+∞
n
e
.
3. Déterminer lim
n→+∞
n−1
k=1
1
√
k(n − k)
.