200 Chap. 8. Intégration sur un intervalle quelconque
Remarque
Beaucoup d’exercices sont construits sur ce modèle. On peut appliquer une
méthode semblable pour les intégrales de fonctions du type g a,b : x →
f (ax) − f (bx)
x
où f est continue sur R
+ . Plus précisément,
• si
+∞
1
f (t)
t
dt converge, alors
+∞
0
g a,b (t) dt = f (0) ln
b
a
.
• si f admet une limite finie en +∞, alors
+∞
0
g a,b (t) dt = ( f (0) − ) ln
b
a
.
Exercice 8.15
Centrale PC 2005, CCP PC 2007
1. Justifier l’existence de J =
+∞
0
sin
3 t
t 2 dt et de I (x) =
+∞
x
sin
3 t
t 2 dt pour
x > 0.
2. Déterminer des réels a et b tels que, pour x > 0,
I (x) = a
+∞
x
sin t
t 2 dt + b
+∞
x
sin 3t
t 2 dt.
3. En déduire que pour tout x ∈ R
∗
+ , I (x) =
3x
x
3 sin t
4t 2 dt.
4. Montrer que lim
x→0
3x
x
sin t
t 2 dt −
3x
x
1
t
dt
= 0, et en déduire la valeur de
J .
5. Montrer que I peut se prolonger en une application dérivable sur R
+ et préciser la dérivée en 0.
1. On note g(t) =
sin
3 t
t 2 . La fonction g est continue sur ]0, +∞[, tend vers 0 en
0 (puisque g(t) ∼
t→0
t
3
t 2 = t) - donc g est intégrable sur ]0, 1] - et |g(t)|
1
t 2 -
donc g est intégrable sur [1, +∞[. Ainsi g est intégrable sur R
∗
+ ainsi que sur tout
intervalle [x, +∞[ car [x, +∞[⊂]0, +∞[ si x > 0. Tout cela garantit l’existence
de J et de I .
2. En linéarisant sin
3 t, on obtient sin
3 t =
3 sin t − sin 3t
4
. On peut alors séparer
l’intégrale définissant I (x) en 2 (chacune des 2 fonctions qui apparaissent est
intégrable sur [x, +∞[) et on obtient le résultat avec a = 3/4 et b = −1/4.