8.2 Exercices d’entraînement 199
• Existence : on pose f (x) =
Arctan 3x − Arctan x
x
pour x > 0. La fonction f est
continue sur R
∗
+ . Si on prouve la convergence de l’intégrale, on aura alors prouvé
l’intégrabilité de f sur R
∗
+ puisque la croissance de Arctan assure que f est positive sur ]0, +∞[. On peut prouver indépendamment l’intégrabilité sur R
∗
+ . On a
f (x) =
3x − x + o(x)
x
lorsque x est proche de 0, et f (x) admet pour limite 2
lorsque x tend vers 0. Donc f peut se prolonger par continuité en 0 et f est intégrable sur ]0, 1]. C’est plus compliqué lorsque x devient grand. On peut utiliser la
relation Arctan u = p/2 − Arctan 1/u si u > 0, ce qui donne (par développement
limité) :
f (x) =
Arctan(
1
x ) − Arctan(
1
3x )
x
∼
x→+∞
2
3x 2 .
On peut également utiliser l’inégalité des accroissements finis sur [x, 3x] appliquée
à g = Arctan avec sup
t∈[x,3x]
|(t)| =
1
1 + x 2 ce qui donne | f (x)|
2x
x(1 + x 2 )
2
x 2
pour conclure quant à l’intégrabilité de f sur [1, +∞[.
• Calcul : la première idée est d’intégrer par parties. Cependant cela ne donne rien :
on dérive Arctan mais il faut alors intégrer x → 1/x en ln, ce qui donne une autre
expression compliquée. Soit 0 < a < b.
I a,b =
b
a
Arctan 3x − Arctan x
x
dx =
b
a
Arctan 3x
x
dx −
b
a
Arctan x
x
dx
En effectuant le changement u = 3x dans la première intégrale, la partie
dx
x
se
transforme en
du
u
, on va alors se ramener à deux intégrales d’une même fonction :
I a,b =
3b
3a
Arctan u
u
du−
b
a
Arctan x
x
dx =
3b
b
Arctan x
x
dx−
3a
a
Arctan x
x
dx.
La croissance de Arctan donne
3b
b
Arctan b
x
dx
3b
b
Arctan x
x
dx
3b
b
Arctan 3b
x
dx
soit
Arctan(b) ln 3
3b
b
Arctan x
x
dx Arctan(3b) ln 3
et par encadrement
3b
b
Arctan x
x
dx tend vers
p
2
ln 3 lorsque b tend vers +∞. Le
même encadrement en 0 donne une limite nulle pour
3a
a
Arctan x
x
dx lorsque a
tend vers 0. En conclusion
+∞
0
Arctan 3x − Arctan x
x
dx =
p
2
ln 3.
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