196 Chap. 8. Intégration sur un intervalle quelconque
3. En effectuant une intégration par parties comme dans l’exercice 8.6, on obtient
I n = 4n
+∞
0
x
4
(1 + x 4 ) n+1 dx = 4n
+∞
0
x
4 + 1 − 1
(1 + x 4 ) n+1 dx = 4n(I n − I n+1 ).
Ainsi pour tout n ∈ N
∗ , on a I n+1 =
4n − 1
4n
I n et I n = I 1
n−1
p=1
4 p − 1
4 p
, soit
I n =
p
2
√
2
n−1
p=1
1 −
1
4 p
.
4. Pour tout n ∈ N
∗ , ln I n = ln I 1 +
n−1
p=1
ln(1 −
1
4 p
) (tous les facteurs du produit
sont positifs). Or ln(1 −
1
4 p
) ∼
p→+∞
−
1
4 p
terme général d’une série divergente à
termes négatifs. Donc lim
n→+∞
ln I n = −∞ et lim
n→+∞
I n = 0 par composition avec la
fonction exponentielle.
Remarque
La question de la limite de I n peut se traiter plus simplement à l’aide du théorème
de convergence dominée (voir chapitre suivant) puisque la suite de fonction f n
converge simplement vers la fonction nulle sur R
+ et que pour tout n ∈ N
∗ , on a
0 f n f 1 .
Exercice 8.11
Mines-Ponts PC,MP 2006 et 2007
Existence et calcul de
p/2
0
√
tan x dx.
Posons f (x) =
√
tan x pour x ∈ [0, p/2[. La fonction f est continue sur [0, p/2[.
Il reste à trouver un équivalent de f en p/2. Pour h ∈ ]0, p/2[,
f (
p
2
− h) =
tan(
p
2
− h) =
1
√
tan h
∼
h→0
1
h 1/2 .
Donc f (x) ∼
x→p/2
1
p/2 − x
et f est intégrable sur [0, p/2[. Pour le calcul on va
effectuer le changement de variable u = f (x) soit x = Arctan(u
2 ) = w(u). La
fonction w est une bijection de classe C
1 de [0, +∞[ sur [0, p/2[ donc ce changement
permet d’écrire
p/2
0
√
tan x dx =
+∞
0
u
2u
1 + u 4 du = 2
+∞
0
u
2
1 + u 4 du.