8.2 Exercices d’entraînement 195
• Afin d’effectuer le changement de variable x = tan t, on a transformé une
intégrale définie (sur le segment [0, p/2]) en une intégrale généralisée (ici sur
[0, p/2[). Cette transformation est légitime puisque si f est continue sur un segment [a, b] alors elle est intégrable sur les intervalles [a, b], [a, b[, ]a, b] et ]a, b[
et les différentes intégrales ont même valeur.
8.2 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
Exercice 8.10
CCP PC 2007
On définit pour n ∈ N
∗ , I n =
+∞
0
1
(1 + x 4 ) n dx.
1. Justifier l’existence de I n pour n ∈ N
∗ .
2. À l’aide du changement de variable x = 1/u, montrer que
I 1 =
1
2
+∞
0
1 + u
2
1 + u 4 du,
puis à l’aide du changement v = u − 1/u, calculer I 1 .
3. Calculer alors I n pour tout n ∈ N
∗ sous forme d’un produit.
4. En déduire la limite de la suite (I n ).
1. La fonction f n : x →
1
(1 + x 4 ) n est continue sur R
+ et f n (x) ∼
x→+∞
1/x
4n donc f n
est intégrable sur R + si n ∈ N
∗ puisqu’alors 4n > 1.
2. La fonction u → 1/u est une bijection de classe C
1 de R
∗
+ sur R
∗
+ , donc
I 1 =
0
+∞
1
1 +
1
u 4
(−
1
u 2 ) du =
+∞
0
u
2
1 + u 4 du.
Ainsi 2I 1 =
+∞
0
1
1 + u 4 du +
+∞
0
u
2
1 + u 4 du =
+∞
0
1 + u
2
1 + u 4 du. On pose
c(u) = u − 1/u pour u > 0. La fonction c est de classe C
1 sur R
∗
+ avec, pour
tout u > 0, c
(u) = 1 + 1/u
2 > 0. Donc c est strictement croissante sur R
∗
+ et
réalise un C
1
− difféomorphisme de R
∗
+ vers R. On peut donc effectuer le changement de variable v = c(u) (en fait u = c
−1 (v)) dans l’intégrale demandée.
On a v
2 = u
2 +
1
u 2 − 2 soit v
2 + 2 =
u
4 + 1
u 2 et c
(u) = 1 +
1
u 2 . En écrivant
u
2 + 1
u 4 + 1
=
u
2
u 4 + 1
1 +
1
u 2
, on obtient
I 1 =
1
2
+∞
−∞
1
v 2 + 2
dv =
+∞
0
1
v 2 + 2
dv = lim
A→+∞
1
√
2
Arctan
A
√
2
=
p
2
√
2
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
• Afin d’effectuer le changement de variable x = tan t, on a transformé une
intégrale définie (sur le segment [0, p/2]) en une intégrale généralisée (ici sur
[0, p/2[). Cette transformation est légitime puisque si f est continue sur un segment [a, b] alors elle est intégrable sur les intervalles [a, b], [a, b[, ]a, b] et ]a, b[
et les différentes intégrales ont même valeur.
8.2 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
Exercice 8.10
CCP PC 2007
On définit pour n ∈ N
∗ , I n =
+∞
0
1
(1 + x 4 ) n dx.
1. Justifier l’existence de I n pour n ∈ N
∗ .
2. À l’aide du changement de variable x = 1/u, montrer que
I 1 =
1
2
+∞
0
1 + u
2
1 + u 4 du,
puis à l’aide du changement v = u − 1/u, calculer I 1 .
3. Calculer alors I n pour tout n ∈ N
∗ sous forme d’un produit.
4. En déduire la limite de la suite (I n ).
1. La fonction f n : x →
1
(1 + x 4 ) n est continue sur R
+ et f n (x) ∼
x→+∞
1/x
4n donc f n
est intégrable sur R + si n ∈ N
∗ puisqu’alors 4n > 1.
2. La fonction u → 1/u est une bijection de classe C
1 de R
∗
+ sur R
∗
+ , donc
I 1 =
0
+∞
1
1 +
1
u 4
(−
1
u 2 ) du =
+∞
0
u
2
1 + u 4 du.
Ainsi 2I 1 =
+∞
0
1
1 + u 4 du +
+∞
0
u
2
1 + u 4 du =
+∞
0
1 + u
2
1 + u 4 du. On pose
c(u) = u − 1/u pour u > 0. La fonction c est de classe C
1 sur R
∗
+ avec, pour
tout u > 0, c
(u) = 1 + 1/u
2 > 0. Donc c est strictement croissante sur R
∗
+ et
réalise un C
1
− difféomorphisme de R
∗
+ vers R. On peut donc effectuer le changement de variable v = c(u) (en fait u = c
−1 (v)) dans l’intégrale demandée.
On a v
2 = u
2 +
1
u 2 − 2 soit v
2 + 2 =
u
4 + 1
u 2 et c
(u) = 1 +
1
u 2 . En écrivant
u
2 + 1
u 4 + 1
=
u
2
u 4 + 1
1 +
1
u 2
, on obtient
I 1 =
1
2
+∞
−∞
1
v 2 + 2
dv =
+∞
0
1
v 2 + 2
dv = lim
A→+∞
1
√
2
Arctan
A
√
2
=
p
2
√
2
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit