194 Chap. 8. Intégration sur un intervalle quelconque
Remarque
On peut retrouver la valeur différemment, plus rapidement : f est intégrable sur
R
∗
+ et u → 1/u est une bijection C
1 de R
∗
+ sur R
∗
+ . Alors,
I =
0
+∞
1
t 2
ln(1/t)
(1 + 1/t 2 ) 3 (−
1
t 2 ) dt =
+∞
0
t
6
t 4
− ln t
(1 + t 3 ) 2 dt = −I ,
donc 2I = 0 et I = 0.
Exercice 8.9
TPE PSI 2006
Soit a > 0. Calculer
p
0
dx
1 + a sin
2 x
(on utilisera le changement de variable
t = tan x).
Le changement de variable proposé ne convient pas sur [0, p], il faut changer l’intervalle d’intégration. Soit f (x) =
1
1 + a sin
2 x
. La fonction f est définie et continue
sur R, elle est également paire et de période p. Ainsi I = 2
p/2
0
f (x) dx. On peut
exprimer sin
2 x assez facilement à l’aide de tan
2 x puisque sin
2 x = cos
2 x tan
2 x soit
sin
2 x =
tan
2 x
1 + tan 2 x
si x ∈ [0, p/2[. La fonction w : t → Arctan t est une bijection de
classe C
1 de [0, +∞[ sur [0, p/2[ et f est intégrable sur [0, p/2] donc sur [0, p/2[
ce qui permet d’effectuer le changement de variable dans l’intégrale
I = 2
+∞
0
1
1 + a
t 2
1+t 2
1
1 + t 2 dt = 2
+∞
0
1
1 + (a + 1)t 2 dt
=
2
a + 1
+∞
0
1
t 2 +
1
a+1
dt.
En utilisant le fait que t →
1
a
Arctan
t
a
est une primitive sur R de t →
1
t 2 + a 2 si
a = 0 et que par conséquent,
+∞
0
1
t 2 + a 2 dt =
p
2a
si a > 0, on obtient
I =
2
a + 1
p
√
a + 1
2
=
p
√
a + 1
.
Remarque
• Le changement de variable t = tan(x/2) est valable sur [0, p[ mais les calculs
sont alors plus longs et compliqués.