8.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 193
Remarque
Pour effectuer un changement de variable à l’aide de ce théorème, il faut partir de
l’intégrale sur un intervalle I d’une fonction intégrable. La fonction w a pour image
cet intervalle I (on exprime l’ancienne variable en fonction de la nouvelle). On
peut préférer montrer qu’on dispose d’un C
1 -difféomorphisme lorsque la nouvelle
variable est donnée en fonction de l’ancienne, ce qui évite d’avoir à trouver le
changement réciproque.
Exercice 8.8
CCP PC 2006
Existence et calcul de I =
+∞
0
t
2 ln t
(1 + t 3 ) 2 dt.
La fonction f : t →
t
2 ln t
(1 + t 3 ) 2 est continue sur ]0, +∞[. On a lim
t→0
f (t) = 0 et
f (t) ∼
t→+∞
ln t
t 4 = o
t→+∞
(1/t
3 ). Donc f est intégrable sur R
∗
+ . Il semble raisonnable
de poser u = t
3 (on aura du = 3t
2 dt) dans cette intégrale, soit t =
3
√
u. On considère
alors
w :
R
∗
+ → R
∗
+
u → u
1/3
w est bijective et de classe C
1 , on peut effectuer le changement de variable et
+∞
0
t
2 ln t
(1 + t 3 ) 2 dt =
+∞
0
1
3
ln(u
1/3 )
(1 + u) 2 du =
1
9
+∞
0
ln u
(1 + u) 2 du.
Il reste à calculer cette dernière intégrale plus simple, à l’aide d’une intégration par
parties (pour faire disparaître le ln). Soit 0 < a < b,
b
a
ln u
(1 + u) 2 du =
−
ln u
1 + u
b
a
+
b
a
1
u(1 + u)
du
=
ln a
1 + a
−
ln b
1 + b
+
b
a
1
u
−
1
u + 1
du
=
ln a
1 + a
−
ln b
1 + b
+ ln b − ln a + ln(a + 1) − ln(b + 1)
On s’intéresse séparément aux limites lorsque b tend vers +∞ et a vers 0 :
Sachant que ln b − ln(b + 1) −
ln b
1 + b
= ln
b
b + 1
−
ln b
1 + b
, cette quantité est
de limite nulle lorsque b tend vers +∞. D’autre part,
ln(a + 1) +
ln a
1 + a
− ln a = ln(a + 1) +
ln a
1 + a
(1 − (1 + a)) = ln(a + 1) −
a ln a
a + 1
et cette quantité tend vers ln 1 = 0 lorsque a tend vers 0. Finalement l’intégrale I est
nulle.
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