192 Chap. 8. Intégration sur un intervalle quelconque
Exercice 8.7
CCP PC 2006
Existence et calcul de
+∞
1
Arcsin
1
x
−
1
x
dx.
La fonction f : x → Arcsin(
1
x
) −
1
x
est continue sur [1, +∞[ (car la fonction
arcsinus est continue sur [0, 1] et x → 1/x est continue sur [1, +∞[ à valeurs dans
]0, 1]). Pour prouver l’existence de l’intégrale, en tant qu’intégrale impropre, il suffit
de justifier que l’intégrale de 1 à X admet une limite finie lorsque X tend vers +∞.
Si on veut prouver l’intégrabilité de f sur [1, +∞[, on peut chercher un équivalent
simple de f en +∞. On a Arcsin u = u + u
3 /6 + o(u
3 ) lorsque u tend vers 0 d’où
f (x) ∼
x→+∞
1
6x 3 . Donc f est bien intégrable sur [1, +∞[ (on peut également prouver
la convergence de l’intégrale et justifier que f est positive en utilisant le fait que pour
tout u ∈ [0, 1], on a Arcsin u u).
Soit X > 1,
X
1
Arcsin(
1
x
) dx = X Arcsin(1/X ) − Arcsin(1) +
X
1
x.
1
x 2
1
1 − 1/x 2
dx
= X Arcsin(1/X ) −
p
2
+
X
1
dx
√
x 2 − 1
= X Arcsin(1/X ) −
p
2
+ argch(X )
et
X
1
f (x) dx = X Arcsin(1/X ) −
p
2
+ argch(X ) − ln X . Puisque Arcsin u ∼
0
u,
lim
X →+∞
X Arcsin(1/X ) = 1. Pour X 1, argch(X ) = ln(X +
X 2 − 1) et
argch(X ) − ln X = ln(1 +
1 − 1/X 2 ). Finalement lorsque X tend vers +∞,
on obtient
+∞
1
Arcsin
1
x
−
1
x
dx = 1 −
p
2
+ ln 2.
Ce qu’il faut savoir
Changement de variable
Si f est une fonction intégrable sur un intervalle I et si w est une bijection de
classe C
1 de J sur I , alors
( f ◦ w) w
est intégrable sur J et
I
f =
J
f ◦ w |w
|.