8.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 191
Exercice 8.6
d’après Centrale PC 2006
On note I n =
+∞
0
1
(1 + x 2 ) n dx.
1. Justifier l’existence de I n pour n ∈ N
∗ .
2. Déterminer une relation de récurrence entre I n et I n+1 et en déduire la valeur
de I n à l’aide de factorielles.
1. Notons f n (x) =
1
(1 + x 2 ) n pour x ∈ R
+ et n ∈ N
∗ . La fonction f n est continue
sur [0, +∞[ et f n (x) ∼
x→+∞
1/x
2n . Or x → 1/x
2n est intégrable sur [1, +∞[ donc
f l’est aussi et par continuité, f est intégrable sur R
+ .
2. Soit A > 0, les fonctions x → x et x →
1
(1 + x 2 ) n sont de classe C
1 sur [0, A],
ainsi, en intégrant par parties,
A
0
dx
(1 + x 2 ) n =
A
(1 + A 2 ) n +
A
0
2nx
2
(1 + x 2 ) n+1 dx
=
A
(1 + A 2 ) n + 2n
A
0
dx
(1 + x 2 ) n −
A
0
dx
(1 + x 2 ) n+1
.
en écrivant que x
2 = x
2 +1−1. Toutes les limites lorsque A tend vers +∞ existent,
et on obtient I n = 2n(I n − I n+1 ) soit I n+1 =
2n − 1
2n
I n . Cela permet d’écrire
I n =
2n − 3
2n − 2
2n − 5
2n − 4
· · ·
3
4
1
2
I 1 = I 1
n−1
k=1
2k − 1
2k
=
2n − 2
2n − 2
2n − 3
2n − 2
2n − 4
2n − 4
2n − 5
2n − 4
· · ·
4
4
3
4
2
2
1
2
I 1
=
(2n − 2)!
(2 n−1 (n − 1)!) 2 I 1
où I 1 = lim
x→+∞
Arctan x = p/2.
Remarque
• On fera attention, lors du calcul à ne pas écrire de fausses égalités comme, par
exemple, I n =
A
0
f n (x) dx.
• En effectuant le changement de variable x = tan t, on montrer que I n est l’intégrale de Wallis
p/2
0
cos
2n−2 t dt.
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