190 Chap. 8. Intégration sur un intervalle quelconque
• Intégrabilité sur [2, +∞[ : l’idée est de se dire que le comportement principal
de la fonction pour l’intégrabilité est celui de
1
x a sauf au cas limite d’intégrabilité, lorsque a = 1. Plus précisément, par croissances comparées, on a
1
x a | ln x| b = o
x→+∞
(
1
x a ) si a
< a. Si on peut trouver un tel a
avec a
> 1, on
obtient l’intégrabilité de f sur [2, +∞[. C’est possible lorsque a > 1. Dans le cas
où a < 1, on a x f (x) =
x
1−a
(ln x) b de limite infinie lorsque x tend vers +∞. Ainsi
f (x) 1/x pour x suffisamment grand et f n’est pas intégrable sur [2, +∞[.
Dans le cas où a = 1, on a f (x) =
1
x
(ln x)
−b et f est la dérivée de x →
(ln x)
1−b
1 − b
lorsque b = 1 et celle de x → ln | ln x| si b = 1. La fonction f est positive et elle
est intégrable sur [2, +∞[ si et seulement si
+∞
2
f (t) dt converge, c’est à dire si
et seulement si une primitive de f sur [2, +∞[ admet une limite finie en +∞. Cela
ne sera le cas que lorsque 1 − b < 0 soit b > 1.
Conclusion : la fonction f est intégrable sur [2, +∞[ si et seulement si a > 1 ou
a = 1 avec b > 1.
• Intégrabilité sur ]0, 1/2] : le raisonnement est identique. La différence provient du
fait que x → 1/x
a est intégrable sur ]0, 1/2] si et seulement si a < 1.
− si a < 1, pour tout a
> a, lim
x→0
x
a
f (x) = 0 par croissances comparées et si on
choisit a
∈ ]a, 1[, alors f (x) = o
x→0
(
1
x a ) avec x →
1
x a intégrable sur ]0, 1/2]
ce qui donne l’intégrabilité de f sur ]0, 1/2].
− si a = 1, avec les mêmes primitives (aux valeurs absolues près) et le même raisonnement que dans la première situation, la fonction f est intégrable sur ]0, 1/2]
si et seulement si b > 1.
− si a > 1 alors x f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers 0, f (x) 1/x au voisinage de 0 et f n’est pas intégrable sur ]0, 1/2].
Conclusion : f est intégrable sur ]0, 1/2] si et seulement si a < 1 ou a = 1 avec
b > 1.
8.1.2 Calcul d’intégrales
Ce qu’il faut savoir
Pour déterminer la valeur de
I
f , on peut calculer l’intégrale de f sur un segment
inclus dans I en déterminant une primitive de f , par exemple par intégration par
parties ou par changement de variables.
• Intégrabilité sur [2, +∞[ : l’idée est de se dire que le comportement principal
de la fonction pour l’intégrabilité est celui de
1
x a sauf au cas limite d’intégrabilité, lorsque a = 1. Plus précisément, par croissances comparées, on a
1
x a | ln x| b = o
x→+∞
(
1
x a ) si a
< a. Si on peut trouver un tel a
avec a
> 1, on
obtient l’intégrabilité de f sur [2, +∞[. C’est possible lorsque a > 1. Dans le cas
où a < 1, on a x f (x) =
x
1−a
(ln x) b de limite infinie lorsque x tend vers +∞. Ainsi
f (x) 1/x pour x suffisamment grand et f n’est pas intégrable sur [2, +∞[.
Dans le cas où a = 1, on a f (x) =
1
x
(ln x)
−b et f est la dérivée de x →
(ln x)
1−b
1 − b
lorsque b = 1 et celle de x → ln | ln x| si b = 1. La fonction f est positive et elle
est intégrable sur [2, +∞[ si et seulement si
+∞
2
f (t) dt converge, c’est à dire si
et seulement si une primitive de f sur [2, +∞[ admet une limite finie en +∞. Cela
ne sera le cas que lorsque 1 − b < 0 soit b > 1.
Conclusion : la fonction f est intégrable sur [2, +∞[ si et seulement si a > 1 ou
a = 1 avec b > 1.
• Intégrabilité sur ]0, 1/2] : le raisonnement est identique. La différence provient du
fait que x → 1/x
a est intégrable sur ]0, 1/2] si et seulement si a < 1.
− si a < 1, pour tout a
> a, lim
x→0
x
a
f (x) = 0 par croissances comparées et si on
choisit a
∈ ]a, 1[, alors f (x) = o
x→0
(
1
x a ) avec x →
1
x a intégrable sur ]0, 1/2]
ce qui donne l’intégrabilité de f sur ]0, 1/2].
− si a = 1, avec les mêmes primitives (aux valeurs absolues près) et le même raisonnement que dans la première situation, la fonction f est intégrable sur ]0, 1/2]
si et seulement si b > 1.
− si a > 1 alors x f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers 0, f (x) 1/x au voisinage de 0 et f n’est pas intégrable sur ]0, 1/2].
Conclusion : f est intégrable sur ]0, 1/2] si et seulement si a < 1 ou a = 1 avec
b > 1.
8.1.2 Calcul d’intégrales
Ce qu’il faut savoir
Pour déterminer la valeur de
I
f , on peut calculer l’intégrale de f sur un segment
inclus dans I en déterminant une primitive de f , par exemple par intégration par
parties ou par changement de variables.