8.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 189
• f (x) ∼
x→+∞
√
x
x 2 ln(1 + x)
∼
x→+∞
1
x 3/2 ln(1 + x)
= o
x→+∞
1
x 3/2
donc f est intégrable sur [1, +∞[.
• f (x) ∼
x→0 +
√
x sin(1/x
2 )
x
=
sin(1/x
2 )
√
x
. On ne dispose pas d’équivalent simple pour
sin(1/x
2 ). On peut en revanche majorer
sin(1/x
2 )
√
x
1
√
x
. Puisque x →
1
√
x
est intégrable sur ]0, 1], la fonction x →
sin(1/x
2 )
√
x
l’est également et donc f est
intégrable sur ]0, 1].
Exercice 8.4
CCP PC 2006
Soit (a, b) ∈ R
2 . Étudier l’intégrabilité de f : x → x
a e
−bx sur R
∗
+ .
La fonction f est continue sur [0, +∞[ si a 0 et sur ]0, +∞[ si a < 0. Dans le
cas où a < 0, on commence par étudier l’intégrabilité sur ]0, 1]. On a f (x) ∼
x→0
x
a .
La fonction x → x
a est intégrable sur ]0, 1] si et seulement si a > −1. Dans le cas
a < 0, la fonction f est intégrable sur ]0, 1] si et seulement si a ∈ ] − 1, 0[. Dans
le cas a 0, la fonction f est continue sur [0, 1] et donc intégrable aussi bien sur
[0, 1] que sur ]0, 1]. Il reste à étudier l’intégrabilité de f sur [1, +∞[. L’utilisation
des croissances comparées nous mène à distinguer 3 cas :
• Si b < 0, alors lim
x→+∞
f (x) = +∞ donc f n’est pas intégrable sur [1, +∞[.
• Si b = 0, alors f (x) = x
a et la fonction f est intégrable sur [1, +∞[ si et seulement si a < −1.
• Si b > 0, alors f (x) = o
x→+∞
(1/x
2 ) et f est intégrable sur [1, +∞[.
Finalement f est intégrable sur R
∗
+ si et seulement si b > 0 et a > −1.
Le résultat de l’exercice suivant n’est pas au programme, mais il est fortement
conseillé de l’avoir étudié et de retenir les méthodes employées.
Exercice 8.5
Intégrales de Bertrand
Étudier l’intégrabilité de la fonction f : x →
1
x a | ln x| b sur [2, +∞[ puis sur
]0, 1/2] en fonction des réels a et b.
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