188 Chap. 8. Intégration sur un intervalle quelconque
Soit f : t →
e
−t
√
t − 1
. La fonction f est continue sur ]1, +∞[. On étudie donc
séparément l’intégrabilité sur ]1, 2] et [2, +∞[.
• f (t) ∼
t→1 +
e
−1
(t − 1) 1/2 et t →
e
−1
(t − 1) 1/2 est continue et intégrable sur ]1, 2], donc f
également.
• f (t) = o
+∞
(1/t
2 ) . En effet, t
2 f (t) ∼
+∞
t
2 e
−t /
√
t = t
3/2 e
−t et t
3/2 e
−t tend vers 0
en +∞ par croissances comparées). Puisque t → 1/t
2 est intégrable sur [2, +∞[,
la fonction f l’est également.
Finalement f est intégrable sur ]1, +∞[.
Exercice 8.2
CCP PSI 2005
Étudier la convergence de
+∞
0
x + 1 −
√
x 2 + 2x + 2
dx.
Soit f : x → x + 1 −
√
x 2 + 2x + 2. La fonction f est continue sur [0, +∞[
puisque x
2 + 2x + 2 = (x + 1)
2 + 1 0. Il suffit donc de chercher un équivalent
simple de f en +∞ pour étudier la convergence de l’intégrale. En remarquant que
x
2 + 2x + 2 = (x + 1)
2 + 1, il semble plus judicieux de factoriser par (x + 1)
2 afin de
faire apparaître la simplification avec l’autre terme x + 1. Pour tout x 0,
√
x 2 + 2x + 2 = (x + 1)
1 +
1
(x + 1) 2 = (x + 1)
1 +
1
2(x + 1) 2 + o(
1
(x + 1) 2 )
d’où, en développant f (x) = −
1
2(x + 1)
+ o(
1
x
) ∼
x→+∞
−
1
2x
. Donc l’intégrale est
divergente.
Remarque
On aurait pu montrer que f est négative (puisque x
2 + 2x + 2 (x + 1)
2 ) mais cela
n’est pas nécessaire puisque f est équivalente à une fonction négative en +∞.
Exercice 8.3
CCP PC 2006
Étudier l’intégrabilité de f : x →
√
x sin(1/x
2 )
ln(1 + x)
sur R
∗
+ .
• f est continue sur R
∗
+ .