8.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 187
Remarque
• Les résultats sont valables si les fonctions sont négatives sur [a, b[ (attention
aux sens des inégalités) ou si elles sont simplement de signe constant sur un
intervalle [a
, b[⊂ [a, b[.
• On dispose de résultats semblables sur un intervalle ]a, b]. Si l’intervalle est
du type ]a, b[, alors
b
a
f (t) dt converge si et seulement si il existe c ∈ ]a, b[
tel que
c
a
f (t) dt et
b
c
f (t) dt convergent.
• Les critères de comparaison (o, O et ∼) ne sont valables que lorsque l’intervalle est ouvert d’un seul côté.
• Si f et g sont équivalentes en b et si l’une est de signe constant alors l’autre
est également de signe constant sur un voisinage de b.
Intégrabilité : Soit f une fonction continue par morceaux sur un intervalle I
d’extrémités a et b, à valeurs réelles ou complexes.
• On dit que f est intégrable sur I s’il existe un réel M tel que, pour tout segment
K ⊂ I ,
K
| f (t)| dt M.
• La fonction f est intégrable sur I si et seulement si
b
a
f (t) dt est absolument
convergente.
Fonctions de référence
• La fonction t →
1
t a est intégrable sur ]0, 1] si et seulement si a < 1.
• La fonction t →
1
t a est intégrable sur [1, +∞[ si et seulement si a > 1.
• La fonction t → e
−at est intégrable sur [0, +∞[ si et seulement si a > 0.
• La fonction t → ln t est intégrable sur ]0, 1].
• Si a et b sont des réels tels que a < b, alors
◦ la fonction t →
1
(t − a) a est intégrable sur ]a, b] si et seulement si a < 1.
◦ la fonction t →
1
(b − t) a est intégrable sur [a, b[ si et seulement si a < 1.
Exercice 8.1
CCP PSI 2006
Étudier l’intégrabilité de t →
e
−t
√
t − 1
sur ]1, +∞[.
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