8 Intégration
sur un intervalle
quelconque
8.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
8.1.1 Convergence et intégrabilité
Ce qu’il faut savoir
Intégrales convergentes
• Soit f une fonction continue par morceaux sur un intervalle [a, b[ (avec b éventuellement infini). On dit que l’intégrale
b
a
f (t) dt converge lorsque la fonction x →
x
a
f (t) dt admet une limite finie lorsque x tend vers b (par valeurs
inférieures).
• Soient f et g deux fonctions continues (par morceaux) et positives sur [a, b[ (b
étant éventuellement infini).
◦ Si 0 f g sur [a, b[ et si
b
a
g(t) dt converge, alors
b
a
f (t) dt converge.
◦ Si f (x) = O
x→b
(g(x)) ou si f (x) = o
x→b
(g(x)) et si
b
a
g(t) dt converge, alors
b
a
f (t) dt converge.
◦ Si f (x) ∼
x→b
g(x), alors
b
a
g(t) dt converge si et seulement si
b
a
f (t) dt
converge.
• Si
b
a
| f (t)| dt converge (on dit que l’intégrale est absolument convergente),
alors
b
a
f (t) dt converge. La réciproque est fausse.