7.3 Exercices d’approfondissement 185
Posons b n =
e
n
√
e
1
n!
. Pour tout x réel, on a alors g(x) =
+∞
n=0
b n x
n .
2) Pour tout n 0, posons ´ n = a n /b n − 1. On a donc a n = b n + b n ´ n , et, puisque
a n ∼ b n , la suite (´ n ) n0 converge vers 0. Alors, pour x > 0, on obtient en sommant
f (x) = g(x) +
+∞
n=0
b n ´ n x
n .
Montrer que f (x) ∼ g(x) quand x tend vers +∞ revient alors à montrer que
1
g(x)
+∞
n=0
b n ´ n x
n tend vers 0 quand x tend vers +∞.
Soit ´ > 0. Il existe N tel que n N implique |´ n | < ´/2. Alors, pour x > 0, on
obtient
1
g(x)
+∞
n=0
b n ´ n x
n
´
2
+
1
g(x)
N −1
n=0
b n |´ n |x
n .
Mais, puisque les fonctions polynômes sont négligeables devant g en +∞, on a
alors lim
x→+∞
1
g(x)
N −1
n=0
b n |´ n |x
n = 0 . Donc il existe a > 0 tel que x > a implique
1
g(x)
N −1
n=0
b n |´ n |x
n <
´
2
. Alors
1
g(x)
+∞
n=0
b n ´ n x
n
< ´ , ce qui montre que
1
g(x)
+∞
n=0
b n ´ n x
n tend vers 0 quand x tend vers +∞, d’où l’on déduit l’équivalence
f (x) ∼ g(x) au voisinage de +∞.