184 Chap. 7. Séries entières
Pour a = 0, la fonction z →
1
z − a
= −
1
a
1
1 −
z
a
est développable en série
entière de rayon |a|. Alors z →
1
z − F
est développable en série entière de rayon
F = (
√
5 + 1)/2 et z →
1
z + 1/F
est développable en série entière de rayon
1/F = (
√
5 − 1)/2. La fonction produit z →
1
z 2 − z − 1
est donc développable
en série entière de rayon (
√
5 − 1)/2, et par suite les fonctions f 1 et f 2 également.
Comme ces fonctions ont un pôle en (
√
5 − 1)/2, le rayon de convergence des deux
séries vaut exactement (
√
5 − 1)/2.
Remarque
Il est également possible de calculer explicitement u n et v n à partir de la relation
matricielle
u n+1
v n+1
=
1 −1
1 −2
u n
v n
. Les suites (u n ) et (v n ) sont des combinaisons linéaires des suites ((−F)
n ) et ((1/F)
n ). Le calcul de f 1 et f 2 se ramène
alors à sommer des séries géométriques.
Exercice 7.37
Mines - Ponts PSI 2005
1) Montrer que la série entière
1 +
1
n
n
2
x
n
n!
est de rayon de convegence
infini.
2) Pour tout x ∈ R, on pose f (x) =
+∞
n=1
1 +
1
n
n
2
x
n
n!
et g(x) =
1
√
e
e
ex . Montrer que f (x) ∼
x→+∞
g(x) .
1) Pour tout n ∈ N, posons a n =
1 +
1
n
n
2
1
n!
et cherchons un équivalent de a n .
On a tout d’abord n
2 ln
1 +
1
n
= n
2
1
n
−
1
2n 2 + o
1
n 2
= n −
1
2
+ o(1) .
Donc
1 +
1
n
n
2
= e
n−
1
2 +o(1)
∼
e
n
√
e
. Il en résulte que
1 +
1
n
n
2
1
n!
∼
e
n
√
e
1
n!
.
La série entière
e
n
n!
x
n est la série de l’exponentielle. Elle a donc un rayon de
convergence infini. Alors la série entière
1 +
1
n
n
2
x
n
n!
a aussi un rayon de
convergence infini.