7.3 Exercices d’approfondissement 183
Mais
1
0
(−1)
n+1 t
n+1
(1 + t) 2 dt
1
0
t
n+1 dt =
1
n + 2
, et il en résulte que la suite
⎛
⎝
1
0
(−1)
n+1 t
n+1
(1 + t) 2 dt
⎞
⎠ converge vers 0. Donc la suite
n
k=0
R k
converge vers
−
1
0
dt
(1 + t) 2 = −
1
2
. On a donc finalement
+∞
n=0
R n = −
1
2
.
Exercice 7.36
d’après Polytechnique-ESPCI PC 2006
Soient (u n ) n∈N et (v n ) n∈N deux suites de nombres complexes définies par u 0 = 1,
v 0 = 0 et pour tout n ∈ N : u n+1 = u n − v n , v n+1 = u n − 2v n .
Calculer les rayons de convergence et les sommes des séries entières
u n z
n et
v n z
n .
Posons f 1 (z) =
+∞
n=0
u n z
n et f 2 (z) =
+∞
n=0
v n z
n . Soient R 1 et R 2 les rayons de convergence respectifs de ces deux séries entières. Si ces rayons ne sont pas nuls, on a alors
pour |z| < min(R 1 , R 2 ) :
f 1 (z) = u 0 +
+∞
n=0
u n+1 z
n+1 = u 0 +
+∞
n=0
(u n − v n )z
n+1 ,
d’où f 1 (z) = u 0 + z( f 1 (z) − f 2 (z)) .
De même, obtient-on, f 2 (z) = v 0 + z( f 1 (z) − 2 f 2 (z)) .
Les nombres f 1 (z) et f 2 (z) apparaissent donc comme solution d’un système linéaire
(1 − z) f 1 (z) + z f 2 (z) = 1
z f 1 (z) − (2z + 1) f 2 (z) = 0
.
Le déterminant de ce système vaut (z − 1)(2z + 1) − z
2 = z
2
− z − 1 et admet comme
racines réelles F = (1 +
√
5)/2 et −1/F = (1 −
√
5)/2. Donc si |z| < (
√
5 − 1)/2,
le système est de Cramer et on obtient facilement les solutions
f 1 (z) = −
2z + 1
z 2 − z − 1
et f 2 (z) = −
z
z 2 − z − 1
.
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