182 Chap. 7. Séries entières
Exercice 7.35
Mines - Ponts PC 2006
1) Existence de R n =
+∞
k=n+1
(−1)
k
k
.
2) Montrer que R n = (−1)
n+1
1
0
t
n
1 + t
dt .
3) Montrer que la série de terme général R n converge et calculer sa somme.
1) Le nombre R n est le reste d’une série alternée convergente. Le calcul effectué dans
l’exercice 7.26 montre que
∞
n=1
(−1)
n−1
n
= ln 2 . On a alors R n = − ln 2−
n
k=1
(−1)
k
k
.
2) Pour n ∈ N, posons u n = (−1)
n+1
1
0
t
n
1 + t
dt . On a alors
u n+1 − u n = (−1)
n+2
1
0
t
n+1
1 + t
dt − (−1)
n+1
1
0
t
n
1 + t
dt
= (−1)
n+2
1
0
t
n+1 + t
n
1 + t
dt = (−1)
n+2
1
0
t
n dt =
(−1)
n+2
n + 1
.
On en déduit que u n − u 0 =
n−1
k=0
(u k+1 − u k ) =
n−1
k=0
(−1)
k+2
k + 1
, et il en résulte que
u n =
n
k=1
(−1)
k+1
k
+ u 0 .
Mais u 0 = −
1
0
dt
1 + t
= −
ln(1 + t)
1
0
= − ln 2 , donc u n = −
n
k=1
(−1)
k
k
− ln 2 , et
on obtient bien que u n = R n .
3) On a
n
k=0
R k =
1
0
n
k=0
(−1)
k+1 t
k
1 + t
dt , et, en calculant la somme de la suite géométrique, on obtient
n
k=0
R k = −
1
0
dt
(1 + t) 2 +
1
0
(−1)
n+1 t
n+1
(1 + t) 2 dt.