7.3 Exercices d’approfondissement 181
1) Pour n 3, soit w une involution de {1, . . . , n}.
Ou bien w(n) = n alors la restriction de w à {1, . . . , n − 1} est une involution de
{1, . . . , n − 1}. Il y a donc I n−1 involutions de ce type.
Ou bien w(n) = p appartient à {1, . . . , n − 1}. Alors w( p) = n, et la restriction de w
à {1, . . . , n − 1} \ { p} est une involution de cet ensemble fini à n − 2 éléments. Donc
pour chacune des n − 1 valeurs de p, il y a I n−2 involutions. Cela fait (n − 1)I n−2
involutions de ce type. Finalement I n = I n−1 + (n − 1)I n−2 .
Cette relation est encore vraie si n = 2, car I 2 = 2, (les deux bijections de {1, 2} sur
lui-même sont des involutions), et I 1 = I 0 = 1.
2) Comme toute involution de {1, . . . , n} est bijective, c’est une permutation de
{1, . . . , n}. Le nombre d’involutions est donc inférieur au nombre de permutations
et l’on a I n n! .
Alors 0 I n /n! 1, et la série entière
I n x
n /n! a un rayon de convergence R
supérieur à celui de la série géométrique
x
n . Donc R 1.
3) Calculons S
(x). On a, pour x ∈ ] −1, 1 [ ,
S
(x) =
+∞
n=1
I n
(n − 1)!
x
n−1 = 1 +
+∞
n=2
I n−1 + (n − 1)I n−2
(n − 1)!
x
n−1
= 1 +
+∞
n=2
I n−1
(n − 1)!
x
n−1 +
+∞
n=2
I n−2
(n − 2)!
x
n−1
= 1 +
+∞
n=1
I n
n!
x
n + x
+∞
n=0
I n
n!
x
n .
On trouve donc S
(x) = S(x) + x S(x) = (1 + x)S(x), avec de plus S(0) = 1, et cette
équation différentielle linéaire du premier ordre a comme solution unique la fonction
S : x → e
x+x
2 /2 .
4) On a donc S(x) = e
x+x
2 /2 =
+∞
n=0
x
n
n!
+∞
n=0
x
2n
2 n n!
.
On obtient un produit de Cauchy de séries entières de rayon de convergence infini
donc la série entière de somme S(x) est en fait de rayon de convergence infini.
Posons a 2 p =
1
2 p p!
, a 2 p+1 = 0 , b p =
1
p!
. Le coefficient c n de x
n dans la série
produit est donc
n
p=0
a p b n− p =
E(n/2)
p=0
a 2 p b n−2 p =
E(n/2)
p=0
1
2 p p!(n − 2 p)!
,
et par identification des coefficients, ce nombre vaut I n /n!. Donc, on obtient,
I n =
E(n/2)
p=0
n!
2 p p!(n − 2 p)!
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
1) Pour n 3, soit w une involution de {1, . . . , n}.
Ou bien w(n) = n alors la restriction de w à {1, . . . , n − 1} est une involution de
{1, . . . , n − 1}. Il y a donc I n−1 involutions de ce type.
Ou bien w(n) = p appartient à {1, . . . , n − 1}. Alors w( p) = n, et la restriction de w
à {1, . . . , n − 1} \ { p} est une involution de cet ensemble fini à n − 2 éléments. Donc
pour chacune des n − 1 valeurs de p, il y a I n−2 involutions. Cela fait (n − 1)I n−2
involutions de ce type. Finalement I n = I n−1 + (n − 1)I n−2 .
Cette relation est encore vraie si n = 2, car I 2 = 2, (les deux bijections de {1, 2} sur
lui-même sont des involutions), et I 1 = I 0 = 1.
2) Comme toute involution de {1, . . . , n} est bijective, c’est une permutation de
{1, . . . , n}. Le nombre d’involutions est donc inférieur au nombre de permutations
et l’on a I n n! .
Alors 0 I n /n! 1, et la série entière
I n x
n /n! a un rayon de convergence R
supérieur à celui de la série géométrique
x
n . Donc R 1.
3) Calculons S
(x). On a, pour x ∈ ] −1, 1 [ ,
S
(x) =
+∞
n=1
I n
(n − 1)!
x
n−1 = 1 +
+∞
n=2
I n−1 + (n − 1)I n−2
(n − 1)!
x
n−1
= 1 +
+∞
n=2
I n−1
(n − 1)!
x
n−1 +
+∞
n=2
I n−2
(n − 2)!
x
n−1
= 1 +
+∞
n=1
I n
n!
x
n + x
+∞
n=0
I n
n!
x
n .
On trouve donc S
(x) = S(x) + x S(x) = (1 + x)S(x), avec de plus S(0) = 1, et cette
équation différentielle linéaire du premier ordre a comme solution unique la fonction
S : x → e
x+x
2 /2 .
4) On a donc S(x) = e
x+x
2 /2 =
+∞
n=0
x
n
n!
+∞
n=0
x
2n
2 n n!
.
On obtient un produit de Cauchy de séries entières de rayon de convergence infini
donc la série entière de somme S(x) est en fait de rayon de convergence infini.
Posons a 2 p =
1
2 p p!
, a 2 p+1 = 0 , b p =
1
p!
. Le coefficient c n de x
n dans la série
produit est donc
n
p=0
a p b n− p =
E(n/2)
p=0
a 2 p b n−2 p =
E(n/2)
p=0
1
2 p p!(n − 2 p)!
,
et par identification des coefficients, ce nombre vaut I n /n!. Donc, on obtient,
I n =
E(n/2)
p=0
n!
2 p p!(n − 2 p)!
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit