180 Chap. 7. Séries entières
4.a Pour tout n ∈ N, on a
n
4
A n 1 +
n
4
et donc, A n ∼ n/4 ∼ (n + 1)/4. Comme
la série entière de terme général (n + 1)x
n est de rayon 1 d’après la question 2), il en
résulte que la série de terme général A n x
n est aussi de rayon 1.
4.b Remarquons que
n
4
= p si et seulement si n est un des nombres 4 p, 4p + 1,
4 p +2, 4 p +3. On va donc sommer la série en regroupant les termes quatre par quatre.
Soit |x| < 1, alors
4 p+3
n=0
A n x
n =
p
r=0
(A 4r x
4r + A 4r+1 x
4r+1 + A 4r+2 x
4r+2 + A 4r+3 x
4r+3 )
=
p
r=0
(r + 1)x
4r (1 + x + x
2 + x
3 )
= (1 + x + x
2 + x
3 )
p
r=0
(r + 1)x
4r .
Alors, puisque toutes les séries en présence sont de rayon 1, on obtient, en faisant
tendre p vers l’infini,
+∞
n=0
A n x
n = (1 + x + x
2 + x
3 )
+∞
r=0
(r + 1)x
4r =
1 − x
4
1 − x
1
(1 − x 4 ) 2 =
1
(1 − x)(1 − x 4 )
.
5) Pour |x| < 1, on obtient en utilisant le produit de Cauchy
1
(1 − x)(1 − x 4 )
=
⎛
⎝
+∞
p=0
x
p
⎞
⎠
⎛
⎝
+∞
q=0
x
4q
⎞
⎠ =
+∞
n=0
⎛
⎝
p+4q=n
1
⎞
⎠ x
n =
+∞
n=0
A n x
n .
Par unicité du développement en série entière, on déduit de la question 4.b que
A n = 1 +
n
4
.
Exercice 7.34
Mines - Ponts PC 2007
Si n 1, soit I n le nombre d’involutions de {1, . . . , n}. On pose I 0 = 1.
1) Montrer, si n 2, que : I n = I n−1 + (n − 1)I n−2 .
2) Montrer que
+∞
n=0
I n
n!
x
n converge si x ∈ ] −1, 1 [ . Soit S(x) sa somme.
3) Montrer, pour x ∈ ] −1, 1 [ , que : S
(x) = (1 + x)S(x).
4) En déduire une expression de S(x), puis une expression de I n .
Rappelons qu’une involution w d’un ensemble E est une application telle que
wow = Id E . Le nombre I n est le nombre d’involutions d’un ensemble fini à n
éléments.