7.3 Exercices d’approfondissement 179
7.3 EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 7.33
CCP PC 2007
1) Pour tout n ∈ N, on note A n le nombre de couples ( p, q) ∈ N
2 tels que
p + 4q = n.
Montrer que A n = 1 +
n
4
, où
n
4
désigne la partie entière de
n
4
.
2) Développer
1
(1 − x) 2 en série entière de x. Quel est le rayon de convergence
de la série entière obtenue ?
3) En déduire le développement de
1
(1 − x 4 ) 2 en série entière de x, ainsi que le
rayon de convergence de la série obtenue.
4) On considère la série entière de terme général u n (x) =
1 +
n
4
x
n .
4.a Déterminer le rayon de convergence de cette série entière.
4.bCalculer sa somme
5) A l’aide du produit de Cauchy des développements en série entière de
1
1 − x
et
1
1 − x 4 , retrouver le résultat de la première question.
1) Dire que p + 4q = n avec p et q entiers naturels, est équivalent à dire que q est
un entier compris entre 0 et n/4 et p = n − 4q. Le nombre A n est donc le nombre
d’entiers compris entre 0 et n/4, donc A n = 1 +
n
4
.
2) Pour x ∈ ] −1, 1 [ , posons f (x) =
1
1 − x
. Cette fonction a pour développement en série entière de rayon 1, f (x) =
+∞
n=0
x
n . Alors f est dérivable sur
] −1, 1 [ , et sa dérivée f
admet le développement en série entière de rayon 1
f
(x) =
1
(1 − x) 2 =
+∞
n=0
(n + 1)x
n .
3) En remplaçant x par x
4 dans le développement précédent lorsque x
4 < 1, on
obtient
1
(1 − x 4 ) 2 =
+∞
n=0
(n +1)x
4n . Par ailleurs, cette série entière diverge si x
4 > 1,
donc elle a encore un rayon de convergence égal à 1.
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