178 Chap. 7. Séries entières
4) On suppose que ∀z ∈ C , | f (z)| e
Re(z) . Montrer qu’il existe un nombre
complexe K tel que : ∀z ∈ C , f (z) = K e
z . Pour ce faire, on pourra utiliser
la deuxième question.
1) Pour t ∈ [ 0, 2p ] , n et p ∈ N, posons f n (t) = a n r
n e
i(n− p)t .
Alors
2p
0
f (re
it )e
−i pt dt =
2p
0
+∞
n=0
f n (t) dt .
Mais | f n (t)| = |a n |r
n , et pour tout z dans C la série de terme général a n z
n est absolument convergente. Par suite la série de terme général |a n |r
n converge et la série
de fonction
f n converge normalement sur [0, 2p]. On peut alors intervertir les
signes
et
, ce qui donne
2p
0
f (re
it )e
−i pt dt =
+∞
n=0
2p
0
f n (t) dt .
Mais
2p
0
f n (t) dt est nulle si n = p et vaut 2pa p r
p si n = p. On obtient donc
2p
0
f (re
it )e
−i pt dt = 2pr
p a p .
2) Si l’on suppose que f est bornée, alors il existe une constante M telle que, pour
tout z ∈ C, on ait | f (z)| M. On en déduit alors, que, pour tout r > 0 et tout
p ∈ N, on a 2pr
p
|a p |
2p
0
| f (re
it )| dt 2pM , et donc |a p |
M
r p .
Si p 1, on en déduit en faisant tendre r vers l’infini, que a p = 0, et donc que
f (z) = a 0 . La fonction f est constante.
3) Par la même majoration que dans 2), on obtient
2pr
p
|a p |
2p
0
| f (re
it )| dt
2p
0
(ar
q + b) dt = 2p(ar
q + b) ,
et donc |a p |
ar
q + b
r p .
Si p q + 1, on en déduit en faisant tendre r vers l’infini, que a p = 0, et donc que
f (z) = a 0 + a 1 z + · · · + a q z
q . La fonction f est un polynôme.
4) Considérons la fonction g : z → f (z)e
−z . Puisque le produit de Cauchy de
deux séries entières de rayon infini est une série entière de rayon infini, la fonction g possède un développement en série entière de rayon infini. Par ailleurs
| f (z)e
−z
| e
Re z
|e
−z
| = 1 et g est bornée. Il résulte de 2) que g est une constante
K . Alors, pour tout z complexe, f (z) = K e
z .