7.2 Exercices d’entraînement 177
On a alors |a k |/k! 1, et la série entière
a k x
k /k! a un rayon de convergence
supérieur à celui de la série géométrique
x
k . Donc R 1.
2.a Si |x| < R, on a, en utilisant le produit de Cauchy
S(x)
2 =
+∞
n=0
n
k=0
a k
k!
a n−k
(n − k)!
x
n = a
2
0 +
+∞
n=1
n
k=0
n
k
a k a n−k
x
n
n!
.
En utilisant la relation de récurrence, on obtient donc S(x)
2 = 1 + 2
+∞
n=1
a n+1
x
n
n!
.
2.b Si |x| < R, on obtient en dérivant S
(x) =
+∞
n=0
a n+1
x
n
n!
= 1 +
+∞
n=1
a n+1
x
n
n!
.
On en déduit que la fonction S vérifie sur ] −R, R [ l’équation différentielle
S
(x) =
1
2
(S(x)
2 + 1). Cette équation peut s’écrire S
(x)/(S(x)
2 + 1) = 1/2, et
en intégrant, on obtient, Arctan S(x) = x/2 + C, où C est une constante. Donc
S(x) = tan
x
2
+ C
. Comme S(0) = 1 = tan C, on a C = p/4 + kp avec k
entier, ce qui donne S(x) = tan
x
2
+
p
4
. (On vérifie facilement que cette solution
convient).
3) Si on avait R > p/2, alors la fonction S serait continue en p/2. Mais la fonction
x → tan
x
2
+
p
4
n’a pas de limite finie en p/2, d’où une contradiction. Donc
R p/2 .
Exercice 7.32
CCP PC 2006
Soit (a n ) une suite de nombres complexes. On suppose que le rayon de
convergence de la série entière
a n z
n vaut +∞. Pour z ∈ C, on pose
f (z) =
+∞
n=0
a n z
n .
1) Montrer que ∀r ∈ ] 0, +∞ [ , ∀ p ∈ N ,
2p
0
f (re
it )e
−i pt dt = 2pr
p a p .
2) On suppose que f est bornée sur C. Etablir l’existence d’un réel positif M
vérifiant : ∀r ∈ ] 0, +∞ [ , ∀ p ∈ N , |a p |
M
r p .
Montrer que : ∀ p ∈ N
∗ , a p = 0 . En déduire que f est constante.
3) On suppose qu’il existe un entier q non nul et deux réels strictement positifs a
et b tels que : ∀z ∈ C , | f (z)| a|z|
q + b . Montrer que f est un polynôme.
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