176 Chap. 7. Séries entières
4) Les fonctions x → 1/(1 − x) et x → ln(1 − x) sont développables en série entière
de rayon 1. Il en résulte alors que le produit de Cauchy est développable en série
entière de rayon au moins 1, donc g est développable en série entière. Le rayon de la
série entière vaut au moins 1.
On peut expliciter les coefficients de cette série en effectuant le produit de Cauchy. Pour |x| < 1, on a − ln(1 − x) − x =
+∞
n=2
x
n
n
et
1
1 − x
=
+∞
n=0
x
n . Alors
− ln(1 − x) − x
1 − x
=
+∞
n=2
n
k=2
1
k
x
n .
Comme la suite
n
k=2
1
k
n2
ne converge pas vers 0, on en déduit que le rayon de
la série entière obtenue est exactement égal à 1.
On remarquera que l’égalité g(x) =
+∞
n=2
n
k=2
1
k
x
n n’a lieu que si x ∈ ] −1, 1/2 ] .
Exercice 7.31
CCP PC 2006
Soit (a n ) n∈N la suite réelle définie par a 0 = a 1 = 1 et
∀n ∈ N
∗ , 2a n+1 =
n
k=0
n
k
a k a n−k .
1) Montrer que, pour tout k ∈ N, on a a k k! et en déduire que le rayon de
convergence R de la série entière
a k
k!
x
k est supérieur ou égal à 1.
2) Pour x ∈ ] −R, R [ , on pose S(x) =
+∞
k=0
a k
k!
x
k .
2.a Montrer que pour tout x ∈ ] −R, R [ , on a S
2 (x) = 1 + 2
+∞
k=1
a k+1
k!
x
k .
2.b Montrer que pour tout x ∈ ] −R, R [ , on a S
(x) =
1
2
(1 + S
2 (x)) et en
déduire S(x) .
3) Déterminer un majorant de R.
On remarque par récurrence sur n que a n 0 pour tout n ∈ N.
1) On montre l’inégalité par récurrence. On a a 0 = 0! = 1 et a 1 = 1! = 1. Si l’on
suppose que pour tout k compris entre 0 et n, on a a k k!, alors
a n+1
1
2
n
k=0
n
k
(n − k)!k!
1
2
n
k=0
n! =
(n + 1)n!
2
(n + 1)! ,
ce qui donne l’inégalité au rang n + 1. Elle est donc vraie pour tout n 0.