7.2 Exercices d’entraînement 175
Exercice 7.30
CCP PC 2006
Soit f la fonction x →
+∞
n=2
(−1)
n
n(n − 1)
x
n .
1) Déterminer l’ensemble de définition de f , noté E f , et montrer que f est continue sur E f .
2) Expliciter f (x) à l’aide des fonctions usuelles pour x ∈ E f .
3) Soit g : x →
+∞
n=2
(−1)
n
n(n − 1)
x
1 − x
n
. Déterminer l’ensemble de définition
de g, et, pour x convenable, la valeur de g(x) à l’aide des fonctions usuelles.
4) La fonction g est-elle développable en série entière en 0 ? Si c’est le cas,
expliciter les coefficients et le rayon de convergence de cette série entière.
1) Pour n 2, notons a n le coefficient d’ordre n de la série, et u n : x → a n x
n . En
appliquant la règle de d’Alembert, la série
a n x
n est de rayon de convergence 1.
Pour n 2 et |x| < 1, on a |a n x
n
| 1/(n(n − 1)) . Comme la série de terme général 1/(n(n − 1)) converge, il en résulte que la série de fonctions continues
u n
converge normalement sur [ −1, 1 ] . Alors E f = [ −1, 1 ] et f est définie et continue sur E f .
2) Sur ] −1, 1 [ , la fonction f est dérivable et l’on a
f
(x) =
+∞
n=2
(−1)
n
n − 1
x
n−1 =
+∞
n=1
(−1)
n+1
n
x
n = ln(1 + x) .
Par ailleurs f (0) = 0.
Donc f est la primitive, nulle en 0 de x → ln(1 + x). En faisant une intégration par
parties, pour tout x ∈ ] −1, 1 [ , on obtient f (x) = (x +1) ln(x +1)− x . Et ce résultat
subsiste par continuité en 1 et en −1 : on aura f (1) = lim
x→1 −
f (x) = 2 ln 2 − 1 et
f (−1) = lim
x→−1 +
f (x) = 1 .
3) La fonction g est définie si et seulement si −1
x
1 − x
1 .
Or 1 +
x
1 − x
=
1
1 − x
est positif si et seulement si x < 1, et avec cette condition
1 −
x
1 − x
=
1 − 2x
1 − x
est positif si et seulement si x 1/2 . Le domaine de définition
de g est donc E g = ] −∞, 1/2 ] . Pour tout x de E g , on a alors,
g(x) = f
x
1 − x
=
1
1 − x
ln
1
1 − x
−
x
1 − x
=
− ln(1 − x) − x
1 − x
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Exercice 7.30
CCP PC 2006
Soit f la fonction x →
+∞
n=2
(−1)
n
n(n − 1)
x
n .
1) Déterminer l’ensemble de définition de f , noté E f , et montrer que f est continue sur E f .
2) Expliciter f (x) à l’aide des fonctions usuelles pour x ∈ E f .
3) Soit g : x →
+∞
n=2
(−1)
n
n(n − 1)
x
1 − x
n
. Déterminer l’ensemble de définition
de g, et, pour x convenable, la valeur de g(x) à l’aide des fonctions usuelles.
4) La fonction g est-elle développable en série entière en 0 ? Si c’est le cas,
expliciter les coefficients et le rayon de convergence de cette série entière.
1) Pour n 2, notons a n le coefficient d’ordre n de la série, et u n : x → a n x
n . En
appliquant la règle de d’Alembert, la série
a n x
n est de rayon de convergence 1.
Pour n 2 et |x| < 1, on a |a n x
n
| 1/(n(n − 1)) . Comme la série de terme général 1/(n(n − 1)) converge, il en résulte que la série de fonctions continues
u n
converge normalement sur [ −1, 1 ] . Alors E f = [ −1, 1 ] et f est définie et continue sur E f .
2) Sur ] −1, 1 [ , la fonction f est dérivable et l’on a
f
(x) =
+∞
n=2
(−1)
n
n − 1
x
n−1 =
+∞
n=1
(−1)
n+1
n
x
n = ln(1 + x) .
Par ailleurs f (0) = 0.
Donc f est la primitive, nulle en 0 de x → ln(1 + x). En faisant une intégration par
parties, pour tout x ∈ ] −1, 1 [ , on obtient f (x) = (x +1) ln(x +1)− x . Et ce résultat
subsiste par continuité en 1 et en −1 : on aura f (1) = lim
x→1 −
f (x) = 2 ln 2 − 1 et
f (−1) = lim
x→−1 +
f (x) = 1 .
3) La fonction g est définie si et seulement si −1
x
1 − x
1 .
Or 1 +
x
1 − x
=
1
1 − x
est positif si et seulement si x < 1, et avec cette condition
1 −
x
1 − x
=
1 − 2x
1 − x
est positif si et seulement si x 1/2 . Le domaine de définition
de g est donc E g = ] −∞, 1/2 ] . Pour tout x de E g , on a alors,
g(x) = f
x
1 − x
=
1
1 − x
ln
1
1 − x
−
x
1 − x
=
− ln(1 − x) − x
1 − x
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit