174 Chap. 7. Séries entières
1) Si n 0 et x ∈ R
∗ , posons a n =
n!
1·3 · · · (2n + 1)
. On a
|a n+1 x
2n+3
|
|a n x 2n+1 |
=
n + 1
2n + 3
|x|
2 ,
et la suite ainsi définie converge vers |x|
2 /2 . Il résulte de la règle de d’Alembert
pour les séries numériques que la série de terme général a n x
2n+1 converge absolument si |x|
2 /2 < 1, c’est-à-dire si |x| <
√
2, et ne converge pas absolument si
|x|
2 /2 > 1, c’est-à-dire si |x| >
√
2 . La série entière
a n x
2n+1 est donc de rayon
de convergence
√
2.
2) Pour tout x ∈ ] −
√
2,
√
2 [ , on obtient f
(x) =
+∞
n=0
(2n + 1)a n x
2n donc, si l’on
pose F(x) = (x
2
− 2) f
(x) + x f (x), on obtient
F(x) =
+∞
n=0
(2n + 1)a n x
2n+2
− 2
+∞
n=0
(2n + 1)a n x
2n +
+∞
n=0
a n x
2n+2
=
+∞
n=0
(2n + 2)a n x
2n+2
− 2
+∞
n=0
(2n + 1)a n x
2n
=
+∞
n=1
2na n−1 x
2n
− 2
+∞
n=0
(2n + 1)a n x
2n
=
+∞
n=1
2(na n−1 − (2n + 1)a n )x
n
− 2 .
Et puisque na n−1 − (2n + 1)a n est nul pour tout entier n, il en résulte que
(x
2
− 2) f
(x) + x f (x) = −2 . Donc f est bien solution de l’équation (E).
3) Si |x| <
√
2, l’équation homogène (x
2
− 2)y
+ x y = 0 s’écrit y
=
x
2 − x 2 y ,
ce qui donne y =
C
√
2 − x 2
. En utilisant la méthode de variation de la constante,
on obtient
x
2
− 2
√
2 − x 2
C
= −2, donc C
=
√
2
1 − (x/
√
2) 2
, et finalement
C = 2 Arcsin
x
√
2
+ A , où A est une constante.
Alors, compte-tenu du fait que f (0) = 0, on obtient f (x) =
2
√
2 − x 2
Arcsin
x
√
2
.
4) En multipliant le numérateur et le dénominateur de a n par 2·4 · · · (2n), on peut
écrire a n =
2
n (n!)
2
(2n + 1)!
. Alors, en utilisant la formule de Stirling, n! ∼ (n/e)
n
√
2np,
on obtient a n
√
2
2n+1
=
√
2
2
2n (n!)
2
(2n + 1)(2n)!
∼
√
2
2n
2
2n
n
e
2n 2np
2n
e
2n 2
√
np
=
√
p
√
2
1
√
n
,
et la série diverge par comparaison à une série de Riemann.