7.2 Exercices d’entraînement 173
1) En remarquant que, pour tout x réel, on a x
2
− 2x cos a + 1 = (x − cos a)
2 + sin
2 a
et puisque sin a = 0, on en déduit que x
2
− 2x cos a + 1 > 0. Alors la fonction f
est définie sur R et dérivable comme composée de fonctions dérivables. On obtient
f
(x) =
x − cos a
x 2 − 2x cos a + 1
et l’on vérifie, en réduisant au même dénominateur, que
1
2
1
x − e ia +
1
x − e −ia
= f
(x) .
2) Pour tout x réel, on a donc f
(x) = Re
1
x − e −ia = − Re
e
ia
1 − e ia x
.
Si x ∈ ] −1, 1 [ , on a |e
ia x| < 1, et donc on peut utiliser la série géométrique pour
obtenir
e
ia
1 − e ia x
= e
ia
+∞
n=0
e
ina x
n =
+∞
n=0
e
i(n+1)a x
n .
En prenant la partie réelle de cette expression, on en déduit que
f
(x) = −
+∞
n=0
(cos(n + 1)a)x
n ,
et la série entière
(cos(n + 1)a)x
n est de rayon au moins 1. Mais en utilisant la
relation cos 2(n + 1)a = 2 cos
2 (n + 1)a − 1, on en déduit que la suite (cos(n + 1)a) ne
peut pas converger vers 0. Donc la série entière
(cos(n + 1)a)x
n est de rayon 1.
Alors, en prenant la primitive qui vaut 0 en 0, on en déduit que si x ∈ ] −1, 1 [
f (x) = −
+∞
n=1
cos na
n
x
n , et la série entière obtenue est encore de rayon 1.
Exercice 7.29
CCP PC 2007
1) Montrer que la série entière
n!
1·3 · · · (2n + 1)
x
2n+1 a pour rayon de
convergence
√
2.
Pour tout x ∈ ] −
√
2,
√
2 [ , on pose f (x) =
+∞
n=0
n!
1·3 · · · (2n + 1)
x
2n+1 .
2) Montrer que f est solution de l’équation différentielle
(x
2
− 2)y
+ x y + 2 = 0 .
(E)
3) Déduire de ce qui précède une expression explicite de f .
4) La série
n∈N
n!
1·3 · · · (2n + 1)
x
2n+1 converge-t-elle lorsque x =
√
2 ?
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