172 Chap. 7. Séries entières
7.2 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
Exercice 7.27
Centrale PSI 2006
Déterminer en fonction de a les rayons de convergence des séries entières
a
n z
n! et
a
n! z
n .
Lorsque a = 0, les séries sont nulles et donc de rayon infini.
Lorsque a = 0, en appliquant la règle de d’Alembert à la série de terme général
u n (z) = a
n z
n! , on obtient
|u n+1 (z)|
|u n (z)|
= |a||z|
(n+1)!−n! = |a|·|z|
n·n! .
La suite (|u n+1 (z)|/|u n (z)|) converge vers 0 lorsque |z| < 1 et la série de terme
général u n (z) converge absolument.
La suite (|u n+1 (z)|/|u n (z)|) admet +∞ pour limite lorsque |z| > 1 et la série de terme
général u n (z) ne converge pas absolument. Il en résulte que la série entière est de
rayon de convergence 1. Le résultat ne dépend pas de a = 0.
De même en appliquant la règle de d’Alembert à la série de terme général
v n (z) = a
n! z
n , on obtient
|v n+1 (z)|
|v n (z)|
= |z||a|
n·n! .
Lorsque |a| > 1, la suite (|v n+1 (z)|/|v n (z)|) admet +∞ pour limite quel que soit
z non nul. La série de terme général v n (z) est toujours divergente et le rayon de
convergence de la série entière est donc nul.
Lorsque |a| < 1, la suite (|v n+1 (z)|/|v n (z)|) converge vers 0, et la série de terme
général v n (z) est toujours convergente. Le rayon de convergence de la série entière
est donc infini.
Lorsque |a| = 1, on retrouve la série géométrique de rayon 1.
Exercice 7.28
Mines - Ponts PC 2005
On veut développer en série entière la fonction
x → f (x) = ln
x 2 − 2x cos a + 1 où a ∈ ] 0, p [ .
1) Justifier et établir que, pour tout x ∈ R, on a
f
(x) =
1
2
1
x − e ia +
1
x − e −ia
.
2) Développer f
en série entière et préciser le rayon de convergence.
3) En déduire le développement de f en série entière.