7.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 171
Introduisons la série entière
(n + 1)x
n . Son rayon de convergence vaut 1. En
posant f (x) =
+∞
n=0
x
n =
1
1 − x
, on a f
(x) =
+∞
n=0
(n + 1)x
n =
1
(1 − x) 2 pour tout
x ∈ ]−1, 1[. Donc A = f
(1/2) = 4 .
Exercice 7.26
Montrer l’existence et calculer A 1 =
+∞
n=1
(−1)
n−1
n
et A 2 =
+∞
n=0
(−1)
n
2n + 1
.
Les deux séries sont des séries alternées qui convergent d’après le critère de Leibniz.
Introduisons les séries entières
(−1)
n−1 x
n
n
et
(−1)
n x
2n+1
2n + 1
.
Ces séries sont de rayon de convergence 1 et l’on a, pour x ∈ ] −1, 1 [ ,
f 1 (x) =
+∞
n=1
(−1)
n−1 x
n
n
= ln(1 + x) et f 2 (x) =
+∞
n=0
(−1)
n x
2n+1
2n + 1
= Arctan x .
PC On applique le théorème d’Abel et l’on obtient A 1 = lim
x→1 −
f 1 (x) = ln 2 et
A 2 = lim
x→1 −
f 2 (x) = Arctan 1 =
p
4
.
PSI Pour x ∈ [ 0, 1 ] et n 1, posons u n (x) = (−1)
n−1 x
n
n
. La suite (|u n (x)|)
est décroissante et converge vers 0. La série de terme général u n (x) est alternée,
et d’après le critère de Leibniz, on a, pour n 1 et x ∈ [ 0, 1 ] , l’inégalité
S(x) −
n
k=1
u k (x)
|u n+1 (x)| . Mais |u n+1 (x)| 1/n, et la suite (1/n) converge
vers 0. Il en résulte que la série de terme général u n converge uniformément sur
l’intervalle [ 0, 1 ] .
On peut alors conclure : comme les fonctions u n sont continues sur [ 0, 1 ] , la somme
f 1 l’est aussi, et en particulier elle est continue en 1, donc A 1 = lim
x→1 −
f 1 (x) = ln 2 .
Par le même argument, on obtient A 2 = lim
x→1 −
f 2 (x) = Arctan 1 =
p
4
.
Remarque
Les deux sommes
+∞
n=1
(−1)
n−1
n
= ln 2 et
+∞
n=0
(−1)
n
2n + 1
=
p
4
sont utilisées dans de
nombreux exercices.
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