170 Chap. 7. Séries entières
2) Sur un intervalle où f ne s’annule pas, on a f
(x)/ f (x)
2 = 1, d’où en intégrant
−1/ f (x) = x − a, et donc f (x) = 1/(a − x). Alors, puisque f (0) = 1, on obtient
f (x) = 1/(1 − x). On vérifie bien que x → 1/(1 − x) est solution de l’équation
différentielle dans ] −∞, −1 [ . Donc f (x) =
1
1 − x
=
+∞
n=0
n!
x
n
n!
, et a n = n!.
3) Il existe une suite unique vérifiant les conditions de l’énoncé. On vérifie alors
par récurrence que la solution obtenue dans 2) convient. On a bien a 0 = 0! = 1,
et si l’on suppose que pour tout k compris entre 0 et n, on a a k = k!, alors
a n+1 =
n
k=0
n
k
(n − k)!k! =
n
k=0
n! = (n + 1)n! = (n + 1)! ,
ce qui donne la formule au rang n + 1. Elle est donc vraie pour tout n 0.
• Calcul de sommes de séries numériques
Une méthode pour calculer la somme A =
+∞
n=n 0
b n d’une série numérique convergente, consiste à introduire une série entière
a n x
n de rayon de convergence R > 0
pour laquelle il existe x 0 ∈ ] 0, R ] tel que, pour tout entier n n 0 , on ait b n = a n x
n
0 .
On calcule alors pour tout x ∈ ] 0, R [ , la somme S(x) =
+∞
n=n 0
a n x
n .
Deux cas sont possibles :
(i ) lorsque R > x 0 , on a A = S(x 0 ) (voir 7.25) ;
(ii) lorsque R = x 0 , la démarche à suivre est différente suivant que vous êtes en
filière PC ou en filière PSI.
Filière PC : on utilise le théorème d’Abel, qui affirme que, sous les hypothèses
précédentes, A = lim
x→R −
S(x) .
Filière PSI : pour n 0, notons u n la fonction définie sur [ 0, R ] par u n (x) = a n x
n .
On montre que la suite de fonctions (u n ) converge uniformément sur [ 0, R ]
– ou bien en montrant que cette série converge normalement (cet argument est ausi
utilisable en PC),
– ou bien, lorsque la série
u n est alternée, en montrant que la suite (u n ) converge
uniformément vers 0 sur [ 0, R ] , et en appliquant le critère de Leibniz.
Dans les deux cas, S est continue sur [ 0, R ] et A = lim
x→R −
S(x) (voir 7.26 et 7.30).
Exercice 7.25
Montrer l’existence et calculer A =
+∞
n=0
(n + 1)2
−n .
2) Sur un intervalle où f ne s’annule pas, on a f
(x)/ f (x)
2 = 1, d’où en intégrant
−1/ f (x) = x − a, et donc f (x) = 1/(a − x). Alors, puisque f (0) = 1, on obtient
f (x) = 1/(1 − x). On vérifie bien que x → 1/(1 − x) est solution de l’équation
différentielle dans ] −∞, −1 [ . Donc f (x) =
1
1 − x
=
+∞
n=0
n!
x
n
n!
, et a n = n!.
3) Il existe une suite unique vérifiant les conditions de l’énoncé. On vérifie alors
par récurrence que la solution obtenue dans 2) convient. On a bien a 0 = 0! = 1,
et si l’on suppose que pour tout k compris entre 0 et n, on a a k = k!, alors
a n+1 =
n
k=0
n
k
(n − k)!k! =
n
k=0
n! = (n + 1)n! = (n + 1)! ,
ce qui donne la formule au rang n + 1. Elle est donc vraie pour tout n 0.
• Calcul de sommes de séries numériques
Une méthode pour calculer la somme A =
+∞
n=n 0
b n d’une série numérique convergente, consiste à introduire une série entière
a n x
n de rayon de convergence R > 0
pour laquelle il existe x 0 ∈ ] 0, R ] tel que, pour tout entier n n 0 , on ait b n = a n x
n
0 .
On calcule alors pour tout x ∈ ] 0, R [ , la somme S(x) =
+∞
n=n 0
a n x
n .
Deux cas sont possibles :
(i ) lorsque R > x 0 , on a A = S(x 0 ) (voir 7.25) ;
(ii) lorsque R = x 0 , la démarche à suivre est différente suivant que vous êtes en
filière PC ou en filière PSI.
Filière PC : on utilise le théorème d’Abel, qui affirme que, sous les hypothèses
précédentes, A = lim
x→R −
S(x) .
Filière PSI : pour n 0, notons u n la fonction définie sur [ 0, R ] par u n (x) = a n x
n .
On montre que la suite de fonctions (u n ) converge uniformément sur [ 0, R ]
– ou bien en montrant que cette série converge normalement (cet argument est ausi
utilisable en PC),
– ou bien, lorsque la série
u n est alternée, en montrant que la suite (u n ) converge
uniformément vers 0 sur [ 0, R ] , et en appliquant le critère de Leibniz.
Dans les deux cas, S est continue sur [ 0, R ] et A = lim
x→R −
S(x) (voir 7.26 et 7.30).
Exercice 7.25
Montrer l’existence et calculer A =
+∞
n=0
(n + 1)2
−n .