7.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 169
On a pour tout x réel cos x =
+∞
n=0
(−1)
n x
2n
(2n)!
.
On en déduit que, pour x = 0, on a f (x) =
+∞
n=1
(−1)
n−1 x
2n−2
(2n)!
, ce qui reste vrai pour
x = 0. La fonction f est donc développable en série entière de rayon infini et il en
résulte qu’elle est de classe C
∞ sur R.
• Détermination des termes d’une suite
A toute suite (a n ) n0 de nombres complexes on peut associer une série entière, par
exemple f (x) =
+∞
n=0
a n
x
n
n!
, qui, lorsque le rayon de convergence n’est pas nul, détermine une fonction appelée fonction génératrice de la suite.
On peut ainsi déterminer certaines suites vérifiant une relation de récurrence. En
général la relation de récurrence permet de faire apparaître une équation différentielle
ou une équation fonctionnelle vérifiée par f et on résoudra cette équation. Cette
méthode sert par exemple pour déterminer le cardinal de certains ensembles. (Voir
ex. 7.34)
Exercice 7.24
Mines - Ponts MP 2006 et PC 2007
On pose a 0 = 1, puis, si n 0, a n+1 =
n
k=0
n
k
a n−k a k . On veut calculer les a n
en utilisant la fonction génératrice f définie ci-dessus.
1) En utilisant le produit de Cauchy, montrer que, si f a un rayon de convergence
non nul, alors f
= f
2 .
2) Résoudre l’équation différentielle précédente et en déduire a n .
3) Vérifier que la suite ainsi obtenue convient bien.
1) En effectuant le produit de Cauchy de la série entière de somme f (x) par ellemême, on obtient, pour |x| < R,
f (x)
2 =
+∞
n=0
n
k=0
a n−k
(n − k)!
a k
k!
x
n =
+∞
n=0
n
k=0
n
k
a n−k a k
x
n
n!
.
Donc, en utilisant la relation de récurrence donnée dans l’énoncé, on obtient
f (x)
2 =
+∞
n=0
a n+1
x
n
n!
. Mais on a aussi f
(x) =
+∞
n=1
a n
x
n−1
(n − 1)!
, et l’on en déduit
donc que f
(x) = f (x)
2 , avec de plus f (0) = 1.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
On a pour tout x réel cos x =
+∞
n=0
(−1)
n x
2n
(2n)!
.
On en déduit que, pour x = 0, on a f (x) =
+∞
n=1
(−1)
n−1 x
2n−2
(2n)!
, ce qui reste vrai pour
x = 0. La fonction f est donc développable en série entière de rayon infini et il en
résulte qu’elle est de classe C
∞ sur R.
• Détermination des termes d’une suite
A toute suite (a n ) n0 de nombres complexes on peut associer une série entière, par
exemple f (x) =
+∞
n=0
a n
x
n
n!
, qui, lorsque le rayon de convergence n’est pas nul, détermine une fonction appelée fonction génératrice de la suite.
On peut ainsi déterminer certaines suites vérifiant une relation de récurrence. En
général la relation de récurrence permet de faire apparaître une équation différentielle
ou une équation fonctionnelle vérifiée par f et on résoudra cette équation. Cette
méthode sert par exemple pour déterminer le cardinal de certains ensembles. (Voir
ex. 7.34)
Exercice 7.24
Mines - Ponts MP 2006 et PC 2007
On pose a 0 = 1, puis, si n 0, a n+1 =
n
k=0
n
k
a n−k a k . On veut calculer les a n
en utilisant la fonction génératrice f définie ci-dessus.
1) En utilisant le produit de Cauchy, montrer que, si f a un rayon de convergence
non nul, alors f
= f
2 .
2) Résoudre l’équation différentielle précédente et en déduire a n .
3) Vérifier que la suite ainsi obtenue convient bien.
1) En effectuant le produit de Cauchy de la série entière de somme f (x) par ellemême, on obtient, pour |x| < R,
f (x)
2 =
+∞
n=0
n
k=0
a n−k
(n − k)!
a k
k!
x
n =
+∞
n=0
n
k=0
n
k
a n−k a k
x
n
n!
.
Donc, en utilisant la relation de récurrence donnée dans l’énoncé, on obtient
f (x)
2 =
+∞
n=0
a n+1
x
n
n!
. Mais on a aussi f
(x) =
+∞
n=1
a n
x
n−1
(n − 1)!
, et l’on en déduit
donc que f
(x) = f (x)
2 , avec de plus f (0) = 1.
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