168 Chap. 7. Séries entières
En intégrant, on obtient donc
S n (x) =
n
k=0
a k x
k =
1
0
dt
2 − x + t 2 −
1
0
x
2 + t 2
n+1
dt
2 − x + t 2 .
Mais
1
0
|x|
2 + t 2
n+1
dt
2 − x + t 2
|x|
2
n+1 1
0
dt
2 − x + t 2 . Et puisque |x| < 2,
le membre de droite converge vers 0. Il résulte du théorème d’encadrement que la
suite
1
0
x
2 + t 2
n+1
dt
2 − x + t 2
converge vers 0, et donc que la suite (S n (x))
converge vers
1
0
dt
2 − x + t 2 =
1
2 − x
1
0
dt
1 +
t
√
2−x
2 .
3) Cette intégrale se calcule et on obtient finalement
S(x) =
+∞
n=0
a n x
n =
1
√
2 − x
Arctan
t
√
2 − x
1
0
=
1
√
2 − x
Arctan
1
√
2 − x
.
On remarque que lim
x→2 −
S(x) = +∞, ce qui ne serait pas possible si on avait R > 2,
car la série entière est continue sur ] −R, R [ . Il en résulte alors que R = 2.
7.1.5 Quelques applications des séries entières
Ce qu’il faut savoir
Les séries entières ont beaucoup d’applications ; nous en donnons ici trois
exemples : prolongement d’une fonction en une fonction de classe C
∞ , détermination du terme général d’une suite numérique définie par une relation de
récurrence et calcul de sommes de séries numériques convergentes.
Elles servent aussi à résoudre des équations différentielles comme on l’a déjà vu
et on le verra de nouveau dans le chapitre « Équations différentielles ».
• Prolongement d’une fonction en une fonction de classe C
∞
Exercice 7.23
CCP PC 2005
Soit f la fonction définie sur R par f (0) = 1/2 et pour x = 0 par
f (x) =
1 − cos x
x 2
. Montrer que f est de classe C
∞ sur R.
En intégrant, on obtient donc
S n (x) =
n
k=0
a k x
k =
1
0
dt
2 − x + t 2 −
1
0
x
2 + t 2
n+1
dt
2 − x + t 2 .
Mais
1
0
|x|
2 + t 2
n+1
dt
2 − x + t 2
|x|
2
n+1 1
0
dt
2 − x + t 2 . Et puisque |x| < 2,
le membre de droite converge vers 0. Il résulte du théorème d’encadrement que la
suite
1
0
x
2 + t 2
n+1
dt
2 − x + t 2
converge vers 0, et donc que la suite (S n (x))
converge vers
1
0
dt
2 − x + t 2 =
1
2 − x
1
0
dt
1 +
t
√
2−x
2 .
3) Cette intégrale se calcule et on obtient finalement
S(x) =
+∞
n=0
a n x
n =
1
√
2 − x
Arctan
t
√
2 − x
1
0
=
1
√
2 − x
Arctan
1
√
2 − x
.
On remarque que lim
x→2 −
S(x) = +∞, ce qui ne serait pas possible si on avait R > 2,
car la série entière est continue sur ] −R, R [ . Il en résulte alors que R = 2.
7.1.5 Quelques applications des séries entières
Ce qu’il faut savoir
Les séries entières ont beaucoup d’applications ; nous en donnons ici trois
exemples : prolongement d’une fonction en une fonction de classe C
∞ , détermination du terme général d’une suite numérique définie par une relation de
récurrence et calcul de sommes de séries numériques convergentes.
Elles servent aussi à résoudre des équations différentielles comme on l’a déjà vu
et on le verra de nouveau dans le chapitre « Équations différentielles ».
• Prolongement d’une fonction en une fonction de classe C
∞
Exercice 7.23
CCP PC 2005
Soit f la fonction définie sur R par f (0) = 1/2 et pour x = 0 par
f (x) =
1 − cos x
x 2
. Montrer que f est de classe C
∞ sur R.