7.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 167
Indication de la rédaction : pour t ∈ [ 0, 1 ] et |x| < 1, on pourra utiliser
l’égalité
1
(1 + t 2 )(1 − t x)
=
1
1 + x 2
1 + t x
1 + t 2 +
x
2
1 − t x
.
Lorsque t ∈ [ 0, 1 ] et |x| < 1, on a
t
n
|x|
n
1 + t 2 |x|
n . La série de fonctions t →
t
n
|x|
n
1 + t 2
converge donc normalement sur [ 0, 1 ] , et l’on peut intervertir les signes
et
.
On obtient
∞
n=0
a n x
n =
1
0
1
1 + t 2
+∞
n=0
(t x)
n dt =
1
0
dt
(1 + t 2 )(1 − t x)
.
La relation
1
(1 + t 2 )(1 − t x)
=
1
1 + x 2
1 + t x
1 + t 2 +
x
2
1 − t x
permet de calculer l’intégrale, et on obtient, pour |x| < 1,
∞
n=0
a n x
n =
1
1 + x 2
Arctan t +
x
2
ln(t
2 + 1) − x ln(1 − t x)
1
0
=
1
1 + x 2
p
4
+
ln 2
2
x − x ln(1 − x)
.
On a montré en particulier que le rayon de convergence R de la série
a n x
n est plus
grand que 1. Mais on constate que lim
x→1 −
S(x) = +∞, ce qui ne serait pas possible si
on avait R > 1, car la série entière est continue sur ] −R, R [ . Il en résulte alors que
R = 1.
Exercice 7.22
On désire étudier la série entière de coefficients a n =
1
0
1
(2 + t 2 ) n+1 dt .
1) Si R est le rayon de convergence de la série, montrer qu’alors R 2.
2) Lorsque |x| < 2, calculer la somme partielle S n (x) et montrer que la suite
(S n (x)) converge.
3) En déduire la somme de la série et que R = 2.
1) On a tout d’abord 0 a n =
1
0
1
(2 + t 2 ) n+1 dt
1
2 n+1 , et puisque la série
géométrique de terme général x
n /2
n+1 a pour rayon de convergence 2, on en déduit
que R 2.
2) Pour |x| < 2, calculons la somme partielle S n (x) de la série entière. Tout d’abord
en sommant la série géométrique, on obtient
n
k=0
x
k
(2 + t 2 ) k+1 =
1
2 + t 2
1 −
x
2+t 2
n+1
1 −
x
2+t 2
=
1
2 − x + t 2
1 −
x
2 + t 2
n+1
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Indication de la rédaction : pour t ∈ [ 0, 1 ] et |x| < 1, on pourra utiliser
l’égalité
1
(1 + t 2 )(1 − t x)
=
1
1 + x 2
1 + t x
1 + t 2 +
x
2
1 − t x
.
Lorsque t ∈ [ 0, 1 ] et |x| < 1, on a
t
n
|x|
n
1 + t 2 |x|
n . La série de fonctions t →
t
n
|x|
n
1 + t 2
converge donc normalement sur [ 0, 1 ] , et l’on peut intervertir les signes
et
.
On obtient
∞
n=0
a n x
n =
1
0
1
1 + t 2
+∞
n=0
(t x)
n dt =
1
0
dt
(1 + t 2 )(1 − t x)
.
La relation
1
(1 + t 2 )(1 − t x)
=
1
1 + x 2
1 + t x
1 + t 2 +
x
2
1 − t x
permet de calculer l’intégrale, et on obtient, pour |x| < 1,
∞
n=0
a n x
n =
1
1 + x 2
Arctan t +
x
2
ln(t
2 + 1) − x ln(1 − t x)
1
0
=
1
1 + x 2
p
4
+
ln 2
2
x − x ln(1 − x)
.
On a montré en particulier que le rayon de convergence R de la série
a n x
n est plus
grand que 1. Mais on constate que lim
x→1 −
S(x) = +∞, ce qui ne serait pas possible si
on avait R > 1, car la série entière est continue sur ] −R, R [ . Il en résulte alors que
R = 1.
Exercice 7.22
On désire étudier la série entière de coefficients a n =
1
0
1
(2 + t 2 ) n+1 dt .
1) Si R est le rayon de convergence de la série, montrer qu’alors R 2.
2) Lorsque |x| < 2, calculer la somme partielle S n (x) et montrer que la suite
(S n (x)) converge.
3) En déduire la somme de la série et que R = 2.
1) On a tout d’abord 0 a n =
1
0
1
(2 + t 2 ) n+1 dt
1
2 n+1 , et puisque la série
géométrique de terme général x
n /2
n+1 a pour rayon de convergence 2, on en déduit
que R 2.
2) Pour |x| < 2, calculons la somme partielle S n (x) de la série entière. Tout d’abord
en sommant la série géométrique, on obtient
n
k=0
x
k
(2 + t 2 ) k+1 =
1
2 + t 2
1 −
x
2+t 2
n+1
1 −
x
2+t 2
=
1
2 − x + t 2
1 −
x
2 + t 2
n+1
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit