166 Chap. 7. Séries entières
Toutes les séries apparaissant dans le calcul précédent sont de rayon infini. La somme
est donc valable pour tout x réel.
• Pour les séries entières dont le coefficient a n est une fraction rationnelle, on pourra
utiliser la décomposition des fractions rationnelles en éléments simples.
Exercice 7.20
CCP PC 2006
Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour tout x ∈ ] −R, R [ , la
somme S(x) =
+∞
n=1
x
2n+2
n(n + 1)(2n + 1)
.
Pour n ∈ N
∗ , on pourra utiliser l’égalité
1
n(n + 1)(2n + 1)
=
1
n
+
1
n + 1
−
4
2n + 1
.
Il résulte de la règle de d’Alembert que la série entière
x
n+1
n(n + 1)(2n + 1)
est de
rayon 1, et donc, en remplaçant x par x
2 , que la série entière
x
2n+2
n(n + 1)(2n + 1)
est aussi de rayon 1.
Puisque toutes les séries entières utilisées dans le calcul suivant ont un rayon de
convergence égal à 1, on a, lorsque x ∈ ] −1, 1 [ ,
S(x) = x
2
+∞
n=1
(x
2 )
n
n
+
+∞
n=1
(x
2 )
n+1
n + 1
− 4x
+∞
n=1
x
2n+1
2n + 1
= x
2
+∞
n=1
(x
2 )
n
n
+
+∞
n=2
(x
2 )
n
n
− 4x
+∞
n=1
x
2n+1
2n + 1
= −x
2 ln(1 − x
2 ) + (− ln(1 − x
2 ) − x
2 ) −
2x ln
1 + x
1 − x
− 4x
2
= 3x
2
− (x
2 + 1) ln(1 − x
2 ) − 2x ln
1 + x
1 − x
.
Ce que l’on peut encore écrire S(x) = 3x
2
− (1 − x)
2 ln(1 − x) − (1 + x)
2 ln(1 + x) .
• Pour les séries entières dont le coefficient a n est défini par une intégrale, on peut
être amené à permuter les signes
et
.
Exercice 7.21
CCP PSI 2007
Soit, pour n ∈ N, a n =
1
0
t
n
1 + t 2 dt . Déterminer le rayon de convergence de la
série entière de terme général a n x
n et calculer sa somme.