7.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 165
• Pour les séries entières dont le coefficient a n est de la forme P(n) ou P(n)/n!,
où P est un polynôme, on pourra décomposer P dans la base (L k ) k0 définie par
L 0 (X ) = 1, et pour k 1, L k (X ) = X (X − 1) · · · (X − (k − 1)). On fera ensuite
apparaître les dérivées de la série géométrique dans le premier cas et la série de
l’exponentielle dans le second.
Exercice 7.19
1) Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour tout x ∈ ] −R, R [ , la
somme S(x) =
+∞
n=0
(n
2 + n + 1)x
n .
2) Mêmes questions lorsque S(x) =
+∞
n=0
n
2 + n + 1
n!
x
n .
1) En appliquant le critère de d’Alembert, on obtient R = 1.
On décompose le polynôme P(X ) dans la base (L 0 , L 1 , L 2 ). Il existe des nombres a,
b, g tels que X
2 + X + 1 = a + bX + gX (X − 1). En donnant à X les valeurs 0 et 1
successivement on obtient a = 1, puis b = 2. Quant à g c’est le coefficient du terme
dominant de P, donc g = 1. Ainsi, pour tout n ∈ N, on a, n
2 +n+1 = n(n−1)+2n+1 .
Puisque toutes les séries utilisées dans le calcul suivant ont un rayon de convergence
égal à 1, on a, lorsque |x| < 1, S(x) =
+∞
n=2
n(n − 1)x
n + 2
+∞
n=1
nx
n +
+∞
n=0
x
n ,
ou encore S(x) = x
2
+∞
n=2
n(n − 1)x
n−2 + 2x
+∞
n=1
nx
n−1 +
+∞
n=0
x
n .
Si l’on pose T (x) =
+∞
n=0
x
n =
1
1 − x
, on a alors T
(x) =
+∞
n=1
nx
n−1 =
1
(1 − x) 2 ,
et T
(x) =
+∞
n=2
n(n − 1)x
n−2 =
2
(1 − x) 3 , d’où
S(x) =
2x
2
(1 − x) 3 +
2x
(1 − x) 2 +
1
1 − x
, et finalement S(x) =
1 + x
2
(1 − x) 3 .
2) On a cette fois S(x) =
+∞
n=2
n(n − 1)
n!
x
n + 2
+∞
n=1
n
n!
x
n +
+∞
n=0
1
n!
x
n .
Donc, en simplifiant, S(x) =
+∞
n=2
x
n
(n − 2)!
+ 2
+∞
n=1
x
n
(n − 1)!
+
+∞
n=0
x
n
n!
.
Et finalement S(x) = x
2
+∞
n=2
x
n−2
(n − 2)!
+ 2x
+∞
n=1
x
n−1
(n − 1)!
+
+∞
n=0
x
n
n!
= (x + 1)
2 e
x .
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