164 Chap. 7. Séries entières
Exercice 7.18
Mines - Ponts PC 2006 et MP 2007
Déterminer le rayon de convergence R, puis calculer pour tout x ∈ ] −R, R [ , la
somme S(x) =
+∞
n=1
x
3n
(3n)!
.
Indication de la rédaction : montrer que, pour tout x réel, S
(x)+S
(x)+S(x) = e
x .
Pour tout x réel, en appliquant le critère de d’Alembert à la série numérique de terme
général u n (x) = x
3n /(3n)!, on obtient
|u n+1 (x)|
|u n (x)|
=
|x|
3
(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)
, et la
suite (|u n+1 (x)/u n (x)|) converge vers 0. La série de terme général u n (x) est donc
absolument convergente et la série entière
u n (x) a un rayon de convergence infini.
Il en résulte que la fonction S est de classe C
∞ sur R .
On a S(x) = 1 +
x
3
3!
+
x
6
6!
+
x
9
9!
+ · · · et on obtient
S
(x) =
x
2
2!
+
x
5
5!
+
x
8
8!
+ · · · puis S
(x) = x +
x
4
4!
+
x
7
7!
+ · · · .
Dans ces trois séries apparaissent tous les termes de la série de x → e
x . On a alors
pour tout x réel, S
(x) + S
(x) + S(x) = e
x .
Donc S est solution de l’équation différentielle linéaire (E) : y
+ y
+ y = e
x , avec
de plus S(0) = 1 et S
(0) = 0.
Le polynôme caractéristique de (E) vaut X
2 + X + 1 et a pour racines complexes
j = −
1
2
+
i
√
3
2
et ¯
j. Les solutions réelles de l’équation homogène sont donc de la
forme x → e
−x/2
A cos
x
√
3
2
+ B sin
x
√
3
2
, où A et B sont deux nombres réels,
et une solution particulière de (E) est x → e
x /3.
Donc
S(x) = e
−x/2
A cos
x
√
3
2
+ B sin
x
√
3
2
+
e
x
3
.
On a S(0) = 1 = A + 1/3, donc A = 2/3, et en dérivant
S
(x) = e
−x/2
−
1
2
A cos
x
√
3
2
+ B sin
x
√
3
2
+
√
3
2
−A sin
x
√
3
2
+ B cos
x
√
3
2
+
e
x
3
.
On en tire S
(0) = 0 = −A/2 +
√
3B/2 + 1/3 , d’où B = 0. Finalement
S(x) =
1
3
e
x + 2e
−x/2 cos
x
√
3
2
.