7.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 163
Comme les séries
e
ina x
n et
e
−ina x
n sont des séries géométriques de rayon 1,
on a lorsque |x| < 1,
S(x) =
1
2
+∞
n=0
e
ina x
n +
+∞
n=0
e
−ina x
n
=
1
2
+∞
n=0
(e
ia x)
n +
+∞
n=0
(e
−ia x)
n
,
donc S(x) =
1
2
1
1 − e ia x
+
1
1 − e −ia x
=
1 − x cos a
1 − 2x cos a + x 2 .
Exercice 7.16
Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour tout x ∈ ] −R, R [ , la
somme S(x) =
+∞
n=1
sh n
x
2n
(2n)!
.
En écrivant sh n =
e
n
− e
−n
2
, on a S(x) =
+∞
n=0
e
n
− e
−n
2
x
2n
(2n)!
.
Les séries entières obtenues sont de rayon infini. On a alors, pour tout x ∈ R,
S(x) =
1
2
+∞
n=0
e
n x
2n
(2n)!
−
+∞
n=0
e
−n x
2n
(2n)!
=
1
2
ch(x
√
e) − ch
x
√
e
.
Exercice 7.17
CCP PSI 2005, Ecole de l’air MP 2005
Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour tout x ∈ ] −R, R [ , la
somme S(x) =
+∞
n=1
n
k=1
1
k
x
n .
La somme S(x) n’est autre que le produit de Cauchy de deux séries de rayon 1. Pour
tout x ∈ ] −1, 1 [ on a S(x) =
+∞
n=0
x
n
+∞
n=1
x
n
n
=
− ln(1 − x)
1 − x
. En particulier,
on a R 1. On remarque que lim
x→1 −
S(x) = +∞, ce qui ne serait pas possible si on
avait R > 1, car la série entière est continue sur ] −R, R [ . Il en résulte alors que
R = 1.
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