162 Chap. 7. Séries entières
Remarque
L’intégrale I n se calcule (Voir chapitre 3) grâce à la relation de récurrence
n I n = (n − 1)I n−2 , et on obtient deux expressions différentes suivant la parité
de n.
7.1.4 Calcul de la somme d’une série entière
Ce qu’il faut savoir
C’est le problème inverse de celui du développement en série entière. On exprime
la série S à l’aide des séries entières des fonctions usuelles, par des opérations de
somme, produit de Cauchy, dérivation ou primitivation, en utilisant éventuellement un changement de variable.
Exercice 7.14
CCP PC 2006
Trouver le rayon de convergence R, puis calculer pour tout x ∈ ] −R, R [ , la
somme S(x) =
+∞
n=0
x
n
(2n)!
.
En appliquant le critère de d’Alembert à la série numérique de terme général
u n (x) =
x
n
(2n)!
, on trouve que R = +∞.
Lorsque x 0,
S(x) =
+∞
n=0
(
√
x)
2n
(2n)!
= ch
√
x.
Lorsque x 0,
S(x) =
+∞
n=0
(−1)
n (
√
−x)
2n
(2n)!
= cos
√
−x.
Exercice 7.15
CCP MP 2005
Soit a un nombre réel. Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour
tout x ∈ ] −R, R [ , la somme S(x) =
+∞
n=0
cos(na)x
n .
Comme | cos(na)| 1, le rayon de convergence R est plus grand que celui de la série
géométrique
x
n . Donc R 1. Par ailleurs la suite (cos(na)) ne converge pas
vers 0, sinon la suite extraite des termes de rang pair (cos(2na)) = (2 cos
2 (na) − 1)
convergerait vers −1. Donc R 1. Il en résulte que R = 1, et que la série entière ne
converge ni en 1, ni en −1.