8.2 Exercices d’entraînement 197
Il reste à calculer cette intégrale. On peut le faire assez rapidement à l’aide de l’exercice précédent puisqu’on a prouvé que cette intégrale vaut 2I 1 =
p
√
2
. De façon
plus usuelle, on peut effectuer ce calcul à l’aide d’une décomposition en éléments
simples, mais c’est assez long.
Exercice 8.12
Mines-Ponts PC 2006
Montrer que la fonction f : t →
ln t
1 + t 2 est intégrable sur ]0, +∞[ et montrer
que l’intégrale I =
+∞
0
f (t) dt est nulle à l’aide d’un changement de variable
simple.
• La fonction f est continue sur R
∗
+ . On a f (t) ∼
t→0
ln t, et comme la fonction
t → ln t est intégrable sur ]0, 1], la fonction f est intégrable sur ]0, 1]. De plus
f (t) ∼
t→+∞
ln t
t 2 = o
t→+∞
1
t 3/2
, donc f est également intégrable sur [1, +∞[.
• On cherche un changement de variable simple, qui transforme R
∗
+ en lui même et
qui ne change pas trop le terme ln t. On considère u → 1/u qui est bijective et de
classe C
1 de R
∗
+ sur R
∗
+ . Alors
I =
0
+∞
ln(1/u)
1 +
1
u 2
−
1
u 2
du = −
+∞
0
ln u
1 + u 2 du = −I
Donc I = −I et I = 0.
Exercice 8.13
d’après CCP PC 2007
Pour n ∈ N, on note I n =
+∞
0
sin
2n (t) e
−t dt.
1. Justifier l’existence de I n pour n ∈ N et calculer I 0
2. Montrer que pour tout n ∈ N
∗ , on a I n =
2n(2n − 1)
4n 2 + 1
I n−1 . En déduire, pour
n ∈ N
∗ , une expression de I n en fonction de n et du produit
n
k=1
(4k
2 + 1).
3. Pour n 1, on pose v n =
2n(2n − 1)
4n 2 + 1
. Déterminer un équivalent de v n − 1 au
voisinage de +∞. En déduire la limite de la suite I n .
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