7.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 159
3) La partie régulière du développement limité à l’ordre 3 de la fonction f n’est autre
que la somme partielle d’ordre 3 de la série, donc
f (x) =
1
3
3
n=0
(−1)
n +
1
2 n+1
x
n + o(x
3 ) =
1
2
−
x
4
+
3x
2
8
−
5x
3
16
+ o(x
3 ) .
Exercice 7.10
CCP et Mines-Ponts MP 2005
1) Développer la fonction f : x → e
x sin x en série entière et préciser le rayon
de convergence .
2) En déduire que pour tout n ∈ N on a la relation
(
√
2)
n sin
np
4
n!
=
02k+1n
(−1)
k
(2k + 1)!(n − 2k − 1)!
.
1) Exprimons sin x sous la forme (e
i x + e
−i x )/(2i). On a alors pour tout x réel
f (x) =
1
2i
(e
(i+1)x
− e
(−i+1)x ) =
1
2i
+∞
n=0
(1 + i)
n x
n
n!
−
+∞
n=0
(1 − i)
n x
n
n!
.
On obtient alors f (x) =
+∞
n=0
(1 + i)
n
− (1 − i)
n
2i
x
n
n!
.
Et, puisque 1 + i =
√
2e
ip/4 , on a
(1 + i)
n
− (1 − i)
n
2i
=
√
2
n
sin(np/4), et finalement f (x) =
+∞
n=0
√
2
n
sin(np/4)
x
n
n!
. La série entière est donc de rayon infini.
2) Appliquons la formule du produit de Cauchy à e
x sin x. Si l’on note a n les coefficients de la série entière de sin x, le coefficient b n de x
n dans le produit est alors
b n =
n
p=0
a p
1
(n − p)!
. Mais a p est nul si p est pair et a 2k+1 = (−1)
k /(2k + 1)!.
On obtient donc b n =
02k+1n
(−1)
k
(2k + 1)!(n − 2k − 1)!
. Mais on a obtenu dans 1)
b n =
2
n/2 sin
np
4
n!
, ce qui donne l’égalité désirée.
Exercice 7.11
En effectuant un produit de Cauchy, développer en série entière la fonction
f : x →
ln(x + 1)
1 + x
et préciser le rayon de convergence.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
3) La partie régulière du développement limité à l’ordre 3 de la fonction f n’est autre
que la somme partielle d’ordre 3 de la série, donc
f (x) =
1
3
3
n=0
(−1)
n +
1
2 n+1
x
n + o(x
3 ) =
1
2
−
x
4
+
3x
2
8
−
5x
3
16
+ o(x
3 ) .
Exercice 7.10
CCP et Mines-Ponts MP 2005
1) Développer la fonction f : x → e
x sin x en série entière et préciser le rayon
de convergence .
2) En déduire que pour tout n ∈ N on a la relation
(
√
2)
n sin
np
4
n!
=
02k+1n
(−1)
k
(2k + 1)!(n − 2k − 1)!
.
1) Exprimons sin x sous la forme (e
i x + e
−i x )/(2i). On a alors pour tout x réel
f (x) =
1
2i
(e
(i+1)x
− e
(−i+1)x ) =
1
2i
+∞
n=0
(1 + i)
n x
n
n!
−
+∞
n=0
(1 − i)
n x
n
n!
.
On obtient alors f (x) =
+∞
n=0
(1 + i)
n
− (1 − i)
n
2i
x
n
n!
.
Et, puisque 1 + i =
√
2e
ip/4 , on a
(1 + i)
n
− (1 − i)
n
2i
=
√
2
n
sin(np/4), et finalement f (x) =
+∞
n=0
√
2
n
sin(np/4)
x
n
n!
. La série entière est donc de rayon infini.
2) Appliquons la formule du produit de Cauchy à e
x sin x. Si l’on note a n les coefficients de la série entière de sin x, le coefficient b n de x
n dans le produit est alors
b n =
n
p=0
a p
1
(n − p)!
. Mais a p est nul si p est pair et a 2k+1 = (−1)
k /(2k + 1)!.
On obtient donc b n =
02k+1n
(−1)
k
(2k + 1)!(n − 2k − 1)!
. Mais on a obtenu dans 1)
b n =
2
n/2 sin
np
4
n!
, ce qui donne l’égalité désirée.
Exercice 7.11
En effectuant un produit de Cauchy, développer en série entière la fonction
f : x →
ln(x + 1)
1 + x
et préciser le rayon de convergence.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit