160 Chap. 7. Séries entières
On effectue le produit de Cauchy des séries de rayon 1 :
1
1 + x
=
+∞
n=0
(−1)
n x
n et ln(1 + x) =
+∞
n=1
(−1)
n+1 x
n
n
.
On obtient donc une série de rayon R 1, et, pour |x| < 1, on a
ln(x + 1)
1 + x
=
+∞
n=1
n
k=1
(−1)
k+1
k
(−1)
n−k
x
n =
+∞
n=1
(−1)
n+1
n
k=1
1
k
x
n .
Puisque la série de terme général 1/n diverge, la suite
n
k=1
1
k
admet +∞ pour
limite, et la série entière obtenue diverge donc si x = 1. Il en résulte que R 1. Cela
résulte également du fait que lim
x→1 −
f (x) = +∞. Finalement R = 1.
Exercice 7.12
CCP PC 2006
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = e
−x
2
x
0
e
t
2
dt.
1) Montrer que f est développable en série entière sur R.
2) Etablir que f est solution de l’équation différentielle y
+ 2x y = 1.
3) Déterminer le développement en série entière de la fonction f .
1) La série entière de l’exponentielle étant de rayon infini, les fonctions x → e
−x
2
et x → e
x
2
sont développables en série entière de rayon infini. Alors la fonction
x →
x
0
e
t
2
dt l’est aussi comme primitive d’une fonction développable en série
entière de rayon infini. Enfin f l’est également comme produit de deux fonctions
développables en série entière de rayon infini.
2) La fonction f est dérivable et, pour tout x réel, on a f
(x) = 1 − 2x f (x) , avec de
plus f (0) = 0.
3) Pour tout x ∈ R, on pose f (x) =
+∞
n=0
a n x
n . Alors f
(x) =
+∞
n=0
(n + 1)a n+1 x
n .
On obtient f
(x) + 2x f (x) =
+∞
n=0
(n + 1)a n+1 x
n +
+∞
n=0
2a n x
n+1 . En faisant le changement d’indice de sommation n → n − 1 dans la deuxième somme, on obtient
f
(x) + 2x f (x) =
+∞
n=0
(n + 1)a n+1 x
n +
+∞
n=1
2a n−1 x
n
= a 1 +
+∞
n=1
((n + 1)a n+1 + 2a n−1 )x
n .